Număr tetraedric

Un număr tetraedric^[1] sau tetraedral^[2] este un număr figurativ care reprezintă o piramidă cu o bază triunghiulară și trei laturi, numită tetraedru.^[3] Este un număr platonician, o subclasă a numerelor poliedrice sau poliedrale, subclasă la rândul său a numerelor figurative.

O piramidă cu lungimea laterală de 5 conține 35 de sfere. Fiecare strat reprezintă unul dintre primele cinci numere triunghiulare.

Al n-lea număr tetraedric, Te_n, este suma primelor n numere triunghiulare, și anume,

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}$

Primele numere tetraedrice sunt:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... ^[4]

Formula

Formula pentru al n-lea număr tetraedric poate fi scrisă și ca:^[5]

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}$

Numerele tetraedrice pot fi exprimate și pe baza coeficienților binomiali (vezi imaginea alăturată):

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Numerele tetraedrice pot fi, prin urmare, găsite în a patra poziție, fie din stânga, fie din dreapta în triunghiul lui Pascal.