Poziție (geometrie)

În geometrie o poziție sau vector de poziție^[1][2] este un vector euclidian care reprezintă un punct P în spațiu. Lungimea sa reprezintă distanța în raport cu o origine de referință arbitrară O, iar direcția sa reprezintă orientarea unghiulară în raport cu axele de referință date. De obicei notat cu x, r sau s, corespunde segmentului de dreaptă de la O la P. Vectorul de poziție aplică originea în P:

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$

Vectorul ${\displaystyle {\vec {r}}}$ reprezintă poziția punctului ${\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)}$ față de originea ${\displaystyle \mathrm {O} .}$ În sistemul de coordonate carteziene ${\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}}$

Termenul „vector de poziție” este folosit în geometria diferențială și, ocazional, în calculului vectorial. Acest termen este utilizat frecvent în spațiul bidimensional sau tridimensional, dar poate fi generalizat cu ușurință la spațiile euclidiene și spațiile afine de orice dimensiune.^[3]

Diferența a doi vectori de poziție este deplasarea,^[1] termen folosit în mecanică, sau translația, termen folosit în geometrie.

Poziție relativă

Poziția relativă a unui punct Q față de punctul P este vectorul euclidian rezultat prin scăderea celor doi vectori de poziție absolută (fiecare față de origine):

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}}}$

unde ${\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}$. Direcția relativă dintre două puncte este poziția lor relativă normalizată ca versor.

Definiție și reprezentare

Articol principal: Sistem de coordonate

În tridimensional

Curbă strâmbă tridimensională. Vectorul de poziție r este parametrizat de scalarul t. În r = a dreapta roșie este tangentă la curbă, iar planul albastru este normal la curbă.

În tridimensional, orice set de coordonate tridimensionale și vectorii de bază corespunzători poate fi utilizat – care este cel mai simplu pentru sarcina respectivă – pentru a defini poziția unui punct în spațiu.

De obicei se folosește familiarul sistem de coordonate carteziene, sau uneori cele de coordonate sferice sau coordonate cilindrice:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

unde t este un parametru, datorită simetriei lor dreptunghiulare sau circulare. Aceste coordonate diferite și vectorii de bază corespunzători reprezintă același vector de poziție. Însă, ar putea fi utilizate și coordonatele curbilinii, mai generale, care se întâlnesc de exemplu în mecanica mediilor continue și teoria relativității generale (în acest ultim caz este nevoie de o coordonată de timp suplimentară).

În n dimensiuni

Algebra liniară permite abstractizarea unui vector de poziție n-dimensional. Un vector de poziție poate fi exprimat ca o combinație liniară de versori:^[4][5]

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

Mulțimea tuturor vectorilor de poziție formează spațiul pozițiilor (un spațiu vectorial ale cărui elemente sunt vectorii de poziție), deoarece pozițiile pot fi adunate (vectorial) și scalate în lungime pentru a obține un alt vector de poziție în spațiu. Noțiunea de „spațiu” este intuitivă, deoarece fiecare x_i (i = 1, 2, … , n) poate avea orice valoare, iar setul de n valori definește un punct în spațiu.

Dimensiunea spațiului pozițiilor este n (notată și cu dim(R) = n). Coordonatele vectorului r în raport cu vectorii de bază e_i sunt x_i. Vectorul format din coordonate formează vectorul de coordonate sau n-tuplul (x₁, x₂, …, x_n).

Fiecare coordonată x_i poate fi parameterizată de un număr de parametri t. Un parametru x_i(t) descrie un drum curbat unidimensional, doi parametri x_i(t₁, t₂) descriu o suprafață curbată bidimensională, trei x_i(t₁, t₂, t₃) descriu un volum curbat tridimensional din spațiu etc.

Spațiul vectorial generat^⁠(d) de setul B = {e₁, e₂, … , e_n} este egal cu spațiul pozițiilor R, notat span(B) = R.

Aplicații

În geometria diferențială

Articol principal: Geometrie diferențială

Câmpurile vectoriale de poziții sunt utilizate pentru a descrie curbe spațiale continue și diferențiabile, caz în care parametrul independent nu trebuie neapărat să fie timpul, ci poate fi (de exemplu) lungimea arcului curbei.

Mecanică

Articole principale: Legile lui Newton, Mecanică analitică și Ecuații de mișcare

În orice ecuație de mișcare, vectorul de poziție r(t) este de obicei cea mai căutată mărime, deoarece această funcție definește mișcarea unei particule (adică a unui punct material) - locul său într-un sistem de coordonate dat la un moment dat t.

Pentru a defini mișcarea în funcție de poziție, fiecare coordonată poate fi parametrizată prin timp; deoarece fiecare valoare succesivă a timpului corespunde unui șir de poziții spațiale succesive date de coordonate, limita continuă a mai multor poziții succesive este o traiectorie pe care o urmează particula.

În cazul unei singure dimensiuni, poziția are o singură componentă, deci degenerează efectiv într-o coordonată scalară. Ar putea fi, să zicem, un vector în direcția x sau în direcția radială r. Notațiile echivalente sunt:

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t)}$

Mărimi derivate

Mărimile cinematice ale unei particule clasice: masa m, poziția r, viteza v, accelerația a

Pentru un vector de poziție r care este o funcție de timpul t, derivata temporală poate fi calculată în funcție de t. Aceste derivate au o utilitate comună în studiul cinematicii, controlului automat^⁠(d), ingineriei și a altor științe.

Viteza

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$

unde dr este o deplasare infinitezimală.

Accelerația

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}$

Supraaccelerația

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}$

Aceste denumiri pentru prima, a doua și a treia derivată a poziției sunt utilizate în mod obișnuit în cinematica de bază.^[6][7] Prin extensie, derivatele de ordin superior pot fi calculate similar. Studiul acestor derivate de ordin superior poate îmbunătăți aproximările funcției de deplasare originale. Astfel de termeni de ordin superior sunt necesari pentru a reprezenta cu acuratețe funcția de deplasare în serie Taylor (o sumă a unui șir infinit), permițând utilizarea mai multor tehnici analitice în inginerie și fizică.