Semidreaptă

O semidreaptă este o figură geometrică unidimensională obținută prin împărțirea unei drepte de către un punct. Altfel spus, o semidreaptă reprezintă o porțiune dintr-o dreaptă care se extinde la nesfârșit într-o singură direcție, fiind mărginită la celălalt capăt de un punct fix numit origine.

Un exemplu de semidreaptă [AB)
cu originea în punctul A

Definiție și proprietăți

Fiind dată o dreaptă ${\displaystyle d}$ și un punct ${\displaystyle A}$ care aparține dreptei, punctul ${\displaystyle A}$ împarte dreapta în două semidrepte distincte, având originea în ${\displaystyle A}$. Orice alt punct al dreptei ${\displaystyle d}$, diferit de ${\displaystyle A}$, aparține exact uneia dintre cele două semidrepte.

Notații

Dacă ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B}$ sunt două puncte distincte pe o dreaptă, semidreapta cu originea în ${\displaystyle A}$ care îl conține pe ${\displaystyle B}$ se poate nota în două moduri:

• Semidreapta închisă ${\displaystyle \lbrack AB}$ (sau ${\displaystyle \lbrack AB)}$): include punctul ${\displaystyle A}$ (originea).

${\displaystyle A\in \lbrack AB}$

• Semidreapta deschisă ${\displaystyle (AB}$: nu include punctul ${\displaystyle A}$ (originea).

${\displaystyle A\notin (AB}$

Incluziunea

Toate punctele unei semidrepte sunt, de asemenea, puncte ale dreptei care o conține. Prin urmare, se spune că semidreapta este inclusă în dreapta suport:

${\displaystyle \lbrack AB\subset AB{\text{ sau }}(AB\subset AB}$.

Semidrepte identice (de aceeași parte)

Fie ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ trei puncte coliniare. Dacă punctele ${\displaystyle B}$ și ${\displaystyle C}$ sunt de aceeași parte a punctului ${\displaystyle A}$ (adică ${\displaystyle A}$ nu este între ${\displaystyle B}$ și ${\displaystyle C}$), atunci semidreptele ${\displaystyle \lbrack AB}$ și ${\displaystyle \lbrack AC}$ au exact aceleași puncte. Aceste semidrepte se numesc identice:

${\displaystyle \lbrack AB=\lbrack AC}$.

În acest caz, se folosește de obicei doar una dintre notații, de exemplu ${\displaystyle \lbrack AB}$.

Semidrepte opuse (distincte)

Dacă punctele ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle C}$ sunt de o parte și de alta a punctului ${\displaystyle B}$ (adică ${\displaystyle B}$ este între ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle C}$), atunci semidreptele ${\displaystyle \lbrack BA}$ și ${\displaystyle \lbrack BC}$ au aceeași origine (${\displaystyle B}$) și sunt incluse în aceeași dreaptă, dar nu au aceleași puncte. Ele se numesc semidrepte opuse sau una în prelungirea celeilalte (sunt distincte):

${\displaystyle \lbrack BA\neq \lbrack BC}$.

Notă: Reuniunea a două semidrepte opuse deschise, ${\displaystyle (BA\cup (BC}$, este dreapta din care se exclude punctul comun, adică dreapta ${\displaystyle AC}$ fără punctul ${\displaystyle B}$. Reuniunea a două semidrepte opuse închise, ${\displaystyle \lbrack BA\cup \lbrack BC}$, este dreapta completă ${\displaystyle AC}$.