Spațiu vectorial normat

Un spațiu vectorial normat, numit pe scurt spațiu normat, este un spațiu vectorial real sau complex ${\displaystyle X}$ pe care este definită o funcție, ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to [0,\infty ),}$ numită normă, având următoarele proprietăți:

• este pozitiv definită: ${\displaystyle \|x\|=0}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle x=0,}$
• ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}$ pentru orice vector ${\displaystyle x\in X}$ și pentru orice scalar ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ sau ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$, ${\displaystyle \forall x,y\in X}$

Norma definește o distanță ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|.}$ Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.

Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach.

Exemple

a) Următoarele aplicații sunt norme pe ${\displaystyle \mathbb {R}$ :}

1. ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$
2. ${\displaystyle \|x\|=\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|,\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$
3. ${\displaystyle \|x\|=\sup |x_{k}|,\;k={\overline {1,n}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$

b) Fie ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A={\begin{bmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}},\;cu\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;i^{2}=-1\}}$ și ${\displaystyle f:{\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;f(A)={\sqrt {\det A}}}$

Atunci ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\|\cdot \|)}$ este spațiu normat în raport cu norma dată prin ${\displaystyle \|A\|=f(A).}$