Teorema lui Ceva

Teorema lui Ceva este o propoziție din geometria triunghiului, cu aplicații în geometria proiectivă. A fost descoperită în Europa de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a formulat-o și a demonstrat-o în 1678 în lucrarea De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.

Dreptele (AD), (BE) și (CF) sunt concurente sau paralele dacă și numai dacă
${\displaystyle {}^{{\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}{\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}{\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}=1}}$.

Se pare că această teoremă era cunoscută, cu multe secole înainte (secolul al XI-lea), și de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud).

Enunț

Geometrie euclidiană

Teorema lui Ceva - Fie triunghiul ABC și D, E, F trei puncte diferite de vârfurile triunghiului aflate respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB]. Atunci dreptele AD, BE și CF sunt concurente dacă și numai dacă:

${\displaystyle {\frac {DB}{DC}}.{\frac {EC}{EA}}.{\frac {FA}{FB}}=1}$ (1)

Demonstrație

Geometrie euclidiană

Fie dreptele AD, BE și CF concurente.

Se aplică teorema lui Menelaus în triunghiul ABD și punctele F, M, C, coliniare. Se obține:

${\displaystyle {\frac {BC}{DC}}.{\frac {MD}{AM}}.{\frac {FA}{FB}}=1}$

Se aplică aceeași teoremă în triunghiul ADC și B, M, E, coliniare. Se obține:

${\displaystyle {\frac {AM}{MD}}.{\frac {DB}{BC}}.{\frac {EC}{AE}}=1}$

Înmulțind aceste două egalități se obține (1).

Vezi și

• Teorema lui Menelaus
• Coliniaritate

Legături externe

• Aplet Java pentru Teorema lui Ceva
• en Demonstrație cu animație de Antonio Gutierrez, Peru.
• en Menelaus și Ceva la MathPages.
• en Consecințe și aplicații la Cut-the-knot.
• en Forma trigonometrică
• en Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers include diverse definiții.
• en Conice asociate, de Clark Kimberling Arhivat în 14 iulie 2018, la Wayback Machine.
• en Teorema lui Ceva de Jay Warendorff, The Wolfram Project.
• en Teorema la MathWorld
• de Demonstrație animată Arhivat în 16 octombrie 2007, la Wayback Machine.