Triunghi dreptunghic

În geometria plană, un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Un triunghi dreptunghic: latura c este ipotenuza, iar laturile a și b sunt catetele.

Date generale

• Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.
• Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
• Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
• Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.

Teoremele înălțimii

Prima teoremă a înălțimii

Notații pentru teoremele enunțate.

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

${\displaystyle CD={\sqrt {AD\cdot BD}}}$   sau

${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD}$

unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (v. figura alăturată).

A doua teoremă a înălțimii

Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° (v. figura alăturată), iar CD este perpendiculară pe AB, există relația:

${\displaystyle CD\cdot AB=AC\cdot BC}$

Din care rezultă că lungimea înălțimii CD este egală cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză:

${\displaystyle CD={\dfrac {AC\cdot BC}{AB}}}$

Teorema catetei

În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu C=90° și CD perpendiculara pe AB (v. figurile de mai sus). Există relația:

${\displaystyle BC^{2}=AB\cdot BD}$   sau

${\displaystyle BC={\sqrt {AB\cdot BD}}}$

Unghiuri

Teorema unghiului de 45°

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.

Teorema unghiului de 30°

Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema unghiului de 15°

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.

Formule de calcul ale ariei

• Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor.

Teorema lui Pitagora

Ilustrarea teoremei lui Pitagora

Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”. Aceasta poate fi reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, AB fiind ipotenuza, iar C unghiul drept (v. notațiile din figurile de mai sus). Teorema lui Pitagora spune că:

${\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}}$

Raporturi constante între elementele unui triunghi dreptunghic

Raporturile constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice.

Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:

${\displaystyle \sin X={\frac {\text{Cateta Opusa}}{\text{Ipotenuza}}}}$

Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

${\displaystyle \cos X={\frac {\text{Cateta Alaturata}}{\text{Ipotenuza}}}}$

Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:

${\displaystyle \operatorname {tg} X={\frac {\text{Cateta Opusa}}{\text{Cateta Alaturata}}}}$

Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:

${\displaystyle \operatorname {ctg} X={\frac {\text{Cateta Alaturata}}{\text{Cateta Opusa}}}}$

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:

${\displaystyle \sin X=\cos(90^{\circ }-X)\!}$

${\displaystyle \cos X=\sin(90^{\circ }-X)\!}$

${\displaystyle \operatorname {tg} X=\operatorname {ctg} (90^{\circ }-X)\!}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} X=\operatorname {tg} (90^{\circ }-X)\!}$

Valori ale funcțiilor trigonometrice pentru măsurile unghiurilor de 0°, 30°, 45°, 60° și 90°

	${\displaystyle 0^{\circ }(0)}$	${\displaystyle 30^{\circ }\left({\frac {\pi }{6}}\right)}$	${\displaystyle 45^{\circ }\left({\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle 60^{\circ }\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$	${\displaystyle 90^{\circ }\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$
sin	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
cos	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$
tg	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	-
ctg	-	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$

Relații

${\displaystyle \sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}}$      ${\displaystyle \cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 30^{\circ }=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$      ${\displaystyle \operatorname {ctg} 30^{\circ }=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 45^{\circ }=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\!}$

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=\cos 90^{\circ }=0}$      ${\displaystyle \cos 0^{\circ }=\sin 90^{\circ }=1}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 0^{\circ }=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0}$      ${\displaystyle \operatorname {ctg} 0^{\circ }=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty }$

Formule trigonometrice

${\displaystyle \operatorname {tg} X={\frac {\sin X}{\cos X}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} X={\frac {\cos X}{\sin X}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} X={\frac {1}{\operatorname {ctg} X}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} X\cdot \operatorname {ctg} X=1}$

Formula fundamentală a trigonometriei

${\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=1\!}$

Proprietățile afixelor vârfurilor

Fie ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in C}$ astfel încât ${\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=r}$,unde ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$.Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a)${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+z_{3}|=r}$;

(b)${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}+|z_{2}-z_{3}|^{2}+|z_{3}-z_{1}|^{2}=8r^{2}}$;

(c)${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{2}+z_{3}|^{2}+|z_{3}+z_{1}|^{2}=4r^{2}}$ ;

(d)Dacă notăm :${\displaystyle w_{1}=z_{2}+z_{3},w_{2}=z_{1}+z_{3},w_{3}=z_{1}+z_{2}}$,atunci ${\displaystyle w_{i}\cdot {\overline {w}}_{j}+w_{j}\cdot {\overline {w}}_{i}=0}$,pentru orice ${\displaystyle 1\leq i<j\leq 3}$;

(e)${\displaystyle (z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})=0}$;

Bibliografie

• Nicolae Bourbăcuț. Triunghiul dreptunghic in planul complex. Gazeta Matematică-B,nr.12/2011.