Поиск в ширину

У этого термина существуют и другие значения, см. BFS.

Поиск в ширину (англ. breadth-first search, BFS) — один из методов обхода графа. Пусть задан граф ${\displaystyle G=(V,E)}$ и выделена исходная вершина ${\displaystyle s}$. Алгоритм поиска в ширину систематически обходит все ребра ${\displaystyle G}$ для «открытия» всех вершин, достижимых из ${\displaystyle s}$, вычисляя при этом расстояние (минимальное количество рёбер) от ${\displaystyle s}$ до каждой достижимой из ${\displaystyle s}$ вершины. Алгоритм работает как для ориентированных, так и для неориентированных графов.^[1]

Поиск в ширину

Поиск в ширину имеет такое название потому, что в процессе обхода мы идём вширь, то есть перед тем как приступить к поиску вершин на расстоянии ${\displaystyle k+1}$, выполняется обход вершин на расстоянии ${\displaystyle k}$.

Поиск в ширину является одним из неинформированных алгоритмов поиска^[2].

Работа алгоритма

Белый — вершина, которая ещё не обнаружена. Серый — вершина, уже обнаруженная и добавленная в очередь. Чёрный — вершина, извлечённая из очереди^[3].

Поиск в ширину работает путём последовательного просмотра отдельных уровней графа, начиная с узла-источника ${\displaystyle u}$.

Рассмотрим все рёбра ${\displaystyle (u,v)}$, выходящие из узла ${\displaystyle u}$. Если очередной узел ${\displaystyle v}$ является целевым узлом, то поиск завершается; в противном случае узел ${\displaystyle v}$ добавляется в очередь. После того, как будут проверены все рёбра, выходящие из узла ${\displaystyle u}$, из очереди извлекается следующий узел ${\displaystyle u}$, и процесс повторяется.

Неформальное описание

1. Поместить узел, с которого начинается поиск, в изначально пустую очередь.
2. Извлечь из начала очереди узел ${\displaystyle u}$ и пометить его как развёрнутый.
   • Если узел ${\displaystyle u}$ является целевым узлом, то завершить поиск с результатом «успех».
   • В противном случае, в конец очереди добавляются все преемники узла ${\displaystyle u}$, которые ещё не развёрнуты и не находятся в очереди.
3. Если очередь пуста, то все узлы связного графа были просмотрены, следовательно, целевой узел недостижим из начального; завершить поиск с результатом «неудача».
4. Вернуться к п. 2.

Примечание: деление вершин на развёрнутые и не развёрнутые необходимо для произвольного графа (так как в нём могут быть циклы). Для дерева эта операция не нужна, так как каждая вершина будет выбрана один-единственный раз.

Формальное описание

Ниже приведён псевдокод алгоритма для случая, когда необходимо лишь найти целевой узел. В зависимости от конкретного применения алгоритма, может потребоваться дополнительный код, обеспечивающий сохранение нужной информации (расстояние от начального узла, узел-родитель и т. п.)

Рекурсивная формулировка:

BFS(start_node, goal_node) {
  return BFS'({start_node}, ∅, goal_node);
}
BFS'(fringe, visited, goal_node) {
  if(fringe == ∅) {
    // Целевой узел не найден
    return false; 
  }
  if (goal_node ∈ fringe) {
    return true;
  }
  return BFS'({child | x ∈ fringe, child ∈ expand(x)} \ visited, visited ∪ fringe, goal_node);
}

Итеративная формулировка:

BFS(start_node, goal_node) {
 for(all nodes i) visited[i] = false; // изначально список посещённых узлов пуст
 queue.push(start_node);              // начиная с узла-источника
 while(! queue.empty() ) {            // пока очередь не пуста
  node = queue.pop();                 // извлечь первый элемент в очереди
  if(node == goal_node) {
   return true;                       // проверить, не является ли текущий узел целевым
  }
  visited[node] = true;               // пометить текущую ноду посещенной
  foreach(child in expand(node)) {    // все преемники текущего узла, ...
   if(visited[child] == false) {      // ... которые ещё не были посещены ...
    queue.push(child);                // ... добавить в конец очереди...
    visited[child] = true;            // ... и пометить как посещённые
   }
  }
 }
 return false;                        // Целевой узел недостижим
}

Реализация на Pascal:

function BFS(v : Node) : Boolean;
begin
  enqueue(v);
  while queue is not empty do
  begin
    curr := dequeue();
    if is_goal(curr) then
    begin
      BFS := true;
      exit;
    end;
    mark(curr);
    for next in successors(curr) do
      if not marked(next) then
      begin
        enqueue(next);
      end;
  end;
  BFS := false;
end;

Свойства

Обозначим число вершин и рёбер в графе как ${\displaystyle \vert V\vert }$ и ${\displaystyle \vert E\vert }$ соответственно.

Пространственная сложность

Так как в памяти хранятся все развёрнутые узлы, пространственная сложность алгоритма составляет ${\displaystyle O(\vert V\vert +\vert E\vert )}$^[2].

Алгоритм поиска с итеративным углублением похож на поиск в ширину тем, что при каждой итерации перед переходом на следующий уровень исследуется полный уровень новых узлов, но требует значительно меньше памяти.

Временная сложность

Так как в худшем случае алгоритм посещает все узлы графа, при хранении графа в виде списков смежности, временная сложность алгоритма составляет ${\displaystyle O(\vert V\vert +\vert E\vert )}$^[2][3].

Полнота

Если у каждого узла имеется конечное число преемников, алгоритм является полным: если решение существует, алгоритм поиска в ширину его находит, независимо от того, является ли граф конечным. Однако если решения не существует, на бесконечном графе поиск не завершается.

Оптимальность

Если длины рёбер графа равны между собой, поиск в ширину является оптимальным, то есть всегда находит кратчайший путь. В случае взвешенного графа поиск в ширину находит путь, содержащий минимальное количество рёбер, но не обязательно кратчайший.

Поиск по критерию стоимости является обобщением поиска в ширину и оптимален на взвешенном графе с неотрицательными весами рёбер. Алгоритм посещает узлы графа в порядке возрастания стоимости пути из начального узла и обычно использует очередь с приоритетами.

История и применения

Поиск в ширину был формально предложен Э. Ф. Муром в контексте поиска пути в лабиринте^[4]. Ли независимо открыл тот же алгоритм в контексте разводки проводников на печатных платах^[5][6][7].

Поиск в ширину может применяться для решения задач, связанных с теорией графов:

• Волновой алгоритм поиска пути в лабиринте^[4]
• Волновая трассировка печатных плат^[5]
• Поиск компонент связности в графе
• Поиск кратчайшего пути между двумя узлами невзвешенного графа
• Поиск в пространстве состояний: нахождение решения задачи с наименьшим числом ходов, если каждое состояние системы можно представить вершиной графа, а переходы из одного состояния в другое — рёбрами графа^[2]
• Нахождение кратчайшего цикла в ориентированном невзвешенном графе^[2]
• Нахождение всех вершин и рёбер, лежащих на каком-либо кратчайшем пути между двумя вершинами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$^[2]
• Поиск увеличивающего пути в алгоритме Форда-Фалкерсона (алгоритм Эдмондса-Карпа)

См. также

• Поиск с ограничением глубины
• Поиск в глубину
• Алгоритм Дейкстры