Проблема остановки

Проблема остановки (англ. Halting problem) — это одна из проблем в теории алгоритмов[1], которая может неформально быть поставлена в виде:

Даны описание процедуры и её начальные входные данные. Требуется определить: завершится ли когда-либо выполнение процедуры с этими данными; либо, что процедура всё время будет работать без остановки.

Алан Тьюринг доказал в 1936 году, что проблема остановки неразрешима на машине Тьюринга. Другими словами, не существует общего алгоритма решения этой проблемы.[2]

Проблема остановки занимает центральное место в теории вычислимости, поскольку представляет собой первый пример задачи, которую невозможно решить алгоритмическим путём.

В терминах функций проблему можно доступно описать следующим образом:

Для любой функции F(G, start_state), которая может определять, останавливается ли другая функция, всегда можно написать такую функцию G(start_state), при передаче которой в F результат выполнения будет противоположен тому, который предсказывает F.

Для многих других задач^{[каких?]} можно доказать их алгоритмическую неразрешимость, попытавшись свести их к проблеме остановки. Это делается по схеме "от противного": пусть есть некая задача, для которой требуется установить её неразрешимость. Тогда, предположим, что она разрешима, и попытаемся, используя этот факт, написать алгоритм решения проблемы остановки. Если это удастся, то мы придем к противоречию, ведь известно, что не существует алгоритма решения проблемы остановки. А значит, предположение было неверным и исходная задача также неразрешима.