Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда в неё явно не входит независимая переменная ${\displaystyle t}$.

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:

${\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n}$

или в векторной записи:

${\displaystyle {\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})}$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию ${\displaystyle x_{n+1}}$, заменив ею аргумент ${\displaystyle t}$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\displaystyle {\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1}$. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с ${\displaystyle n}$ на ${\displaystyle n+1}$, что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}}}$, которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системы

Если ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x}}(t)}$ — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процессы, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, и не зависят от выбора начального значения аргумента ${\displaystyle t}$.

См. также

• Отклонение решений автономной системы
• Фазовая плоскость

Ссылки

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.