Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Аксиомы

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀

Основная статья: Пространство Колмогорова

T₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁

T₁ (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должна существовать окрестность точки ${\displaystyle x}$, не содержащая точку ${\displaystyle y}$, и окрестность точки ${\displaystyle y}$, не содержащая точку ${\displaystyle x}$. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂

Основная статья: Хаусдорфово пространство

T₂ (аксиома Хаусдорфа): для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должны найтись непересекающиеся окрестности ${\displaystyle U(x)}$ и ${\displaystyle V(y)}$.

T₃

T₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности^[1][2]. Эквивалентное условие: для любой точки ${\displaystyle x}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$, такая, что ${\displaystyle x\in V\subset {\bar {V}}\subset U}$. Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁.^[3][4] Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁^[2][4]. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½

T_3½: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и не содержащейся в нём точки ${\displaystyle a}$ существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на этом пространстве, принимающая значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 1}$ на всем пространстве, причем ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x}$, принадлежащих ${\displaystyle F}$. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½^[5], а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается)^[2].

T₄

T₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности^[1][2]. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и его окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$, такая, что ${\displaystyle F\subset V\subset {\bar {V}}\subset U}$ (${\displaystyle {\bar {V}}}$ — замыкание ${\displaystyle V}$). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄^[2][6]. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁^[7][8], а в определении нормального пространства не включается требование T₁^[8].

Свойства

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• ${\displaystyle T_{0}}$, ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома ${\displaystyle T_{1}}$);
• из ${\displaystyle T_{1}}$ следует ${\displaystyle T_{0}}$;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.