Алгебраическая сложность

Алгебраическая сложность — раздел теории сложности вычислений, имеющий дело с полиномами. Был создан в основном благодаря работам Ф. Штрассена^[1][2][3].

Алгебраическая сложность полинома

Определение

Алгебраической сложностью полинома ${\displaystyle f}$, которую обозначают через ${\displaystyle L(f)}$, называется длина кратчайшей неветвящейся программы, вычисляющей ${\displaystyle f}$^[4]. Неветвящейся программой называется последовательность функций ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$, определённая следующим образом:

${\displaystyle f_{1}=A_{1}(x_{1},...,x_{k})B_{1}(x_{1},...,x_{k})}$,

…

${\displaystyle f_{i}=A_{i}(x_{1},...,x_{k},f_{1},...,f_{i-1})B_{i}(x_{1},...,x_{k},f_{1},...,f_{i-1})}$,

…

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — полиномы первой степени. Длиной неветвящейся программы называется число членов в последовательности ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$. Неветвящаяся программа длиной ${\displaystyle m}$ вычисляет полином ${\displaystyle p}$, если ${\displaystyle f_{m}=p}$.

Свойства

• Существует полином степени ${\displaystyle n}$ от одной переменной, алгебраическая сложность которого не меньше ${\displaystyle \Omega ({\sqrt {n}})}$.

Нерешённые проблемы

• Неизвестны нетривиальные нижние и верхние оценки алгебраической сложности частичных сумм разложения функции в ряд ${\displaystyle e^{x}\sim 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}}$. Существует гипотеза, что для вычисления первых n слагаемых этого ряда требуется выполнить ${\displaystyle \Omega (n)}$ умножений^[5].
• Неизвестны нетривиальные нижние и верхние оценки алгебраической сложности частичных сумм разложения функции в ряд ${\displaystyle \ln(1-x)\sim -x-{\frac {x^{2}}{2}}-\ldots -{\frac {x^{n}}{n}}}$.

Аддитивная сложность матрицы

Определение

Рассмотрим операцию умножения квадратной матрицы с постоянными элементами: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix}}}$ на вектор ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$.

Аддитивной сложностью квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ называется длина самой короткой последовательности функций ${\displaystyle f_{1},...,f_{i},...}$, вычисляющих произведение вектора ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle j}$ строку таблицы ${\displaystyle A}$ и определённых следующим образом: ${\displaystyle f_{1}=\alpha _{1}u_{1}+\beta _{1}v_{1}}$, ...,${\displaystyle f_{i}=\alpha _{i}u_{i}+\beta _{i}v_{i}}$, ... где ${\displaystyle u_{i},v_{i}\in \left\{x_{1},...,x_{n},f_{1},...,f_{i-1}\right\}}$, а ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$ являются постоянными.

Свойства

• Аддитивная сложность произвольной матрицы равна ${\displaystyle O(n^{2})}$. У некоторых видов матриц она меньше. Например, у матрицы быстрого преобразования Фурье, она равна ${\displaystyle O(n\log _{2}n)}$.

Класс VP

Классом VP называется множество всех семейств полиномов ${\displaystyle f_{n}}$, для которых ${\displaystyle L(f_{n})\leqslant p(n)}$. Например, задача вычисления детерминанта матрицы принадлежит классу VP. Класс сложности вычислений VP является алгебраическим аналогом класса P из теории сложности вычислений^[6].

Класс VNP

Класс VNP включает в себя семейство полиномов ${\displaystyle f_{n}(x_{1},...,x_{m(n)})}$, если для него найдется семейство полиномов ${\displaystyle \left\{g_{n}(x_{1},...,x_{m(n)},y_{1},...,y_{k(n)})\right\}}$ из класса VP такое, что выполнено равенство ${\displaystyle f_{n}(x_{1},...,x_{m(n)})=\sum _{e\in \left\{0,1\right\}^{k(n)}}^{}g_{n}(x_{1},...,x_{m(n)},e_{1},...,e_{k(n)})}$. Суммирование ведется по всем векторам ${\displaystyle e}$ из нулей и единиц длины ${\displaystyle k(n)}$, а ${\displaystyle e_{i}}$ равно значению ${\displaystyle i}$-й координаты вектора e. Например, задача вычисления перманента матрицы принадлежит классу VNP. Класс сложности вычислений VNP является алгебраическим аналогом класса NP из теории сложности вычислений.