Алгебра над кольцом

Эта статья — о модуле, снабжённом произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над заданным коммутативным кольцом с единицей и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны; обобщение понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Среди изучаемых алгебр над кольцами — алгебры квадратных матриц, алгебры многочленов, алгебры формальных степенных рядов.

Определения

Алгеброй ${\displaystyle A}$ над заданным коммутативным кольцом с единицей ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle K}$-алгеброй) называется ${\displaystyle K}$-модуль, являющийся кольцом с умножением, согласованным с умножением в ${\displaystyle K}$ — для любых ${\displaystyle a,b\in A}$ и ${\displaystyle k\in K}$ выполнено ${\displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}$. Если раскрыть определения модуля и кольца, то система соотношений для ${\displaystyle K}$-алгебры для всех ${\displaystyle k,l\in K}$ и ${\displaystyle a,b,c\in A}$ следующая:

• ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$, ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$,
• ${\displaystyle (k+l)a=ka+la}$, ${\displaystyle k(a+b)=ka+kb}$,
• ${\displaystyle k(la)=(kl)a}$,
• ${\displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}$,
• ${\displaystyle 1_{K}a=a}$.

Нулевая алгебра — алгебра над заданным кольцом, состоящая из одного элемента — нуля.

Для ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in A}$ коммутатор определён равенством ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется коммутативной, если ${\displaystyle [a,b]=0}$.

Для ${\displaystyle a,b,c\in A}$ ассоциатор определён равенством ${\displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется ассоциативной, если ${\displaystyle (a,b,c)=0}$.

Если существует элемент ${\displaystyle e\in A}$ такой, что ${\displaystyle ea=ae=a}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$, то ${\displaystyle e}$ называется единицей алгебры ${\displaystyle A}$, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия ${\displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}$ требуют более слабое: ${\displaystyle k(ab)=(ka)b}$.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение ${\displaystyle na}$ (где ${\displaystyle n}$ — целое число) обычно, то есть как сумму ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle a}$. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного умножения выбрать полилинейное отображение ${\displaystyle g\colon A^{n}\rightarrow A}$ и определить произведение согласно правилу: ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})}$, то полученная структура называется ${\displaystyle n}$-алгеброй^{[источник не указан 24 дня]}.

Свободная алгебра

Запрос «Свободная алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Не следует путать с со свободной алгеброй в универсальной алгебре.

Если алгебра ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом ${\displaystyle K}$. Если алгебра ${\displaystyle A}$ имеет конечный базис, то алгебра ${\displaystyle A}$ называется конечномерной.

Если ${\displaystyle K}$ является полем, то, по определению, ${\displaystyle K}$-алгебра является векторным пространством над ${\displaystyle K}$, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$. Если алгебра имеет единицу ${\displaystyle e}$, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают ${\displaystyle e_{0}=e}$. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения ${\displaystyle e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}}$. А именно, если ${\displaystyle a=a^{k}e_{k}}$, ${\displaystyle b=b^{k}e_{k}}$, то произведение можно представить в виде ${\displaystyle ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}}$. Величины ${\displaystyle C_{ij}^{k}\in K}$ называются структурными константами алгебры ${\displaystyle A}$.

Если алгебра коммутативна, то ${\displaystyle C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}}$. Если же ассоциативна, то ${\displaystyle C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}}$.

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем ${\displaystyle K}$ в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над ${\displaystyle K}$.

Отображение алгебры

Возможно рассматривать алгебру ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ как модуль ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$. Отображение ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ алгебры ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ над кольцом ${\displaystyle K}$ называется линейным, если:

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$,

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$.

для любых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in A}$, ${\displaystyle k\in K}$. Множество линейных отображений алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A;B)}$.

Линейное отображение ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ называется гомоморфизмом, если ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ для любых ${\displaystyle a,b\in A}$, а также выполнено условие: если алгебры ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеют единицу, то:

${\displaystyle f(e_{A})=e_{B}}$.

Множество гомоморфизмов алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ обозначается символом ${\displaystyle H(A;B)}$.

Очевидно, что ${\displaystyle H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)}$.

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.