Альтернативная алгебра

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным^[1]. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения ${\displaystyle ab}$ в альтернативной алгебре M операцией коммутатора ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$, превращает её в алгебру Мальцева ${\displaystyle M^{(-)}}$.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид^[2]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

${\displaystyle [x,y,z]+[y,x,z]=0}$

${\displaystyle [x,y,z]+[x,z,y]=0}$

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

${\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — перестановка элементов ${\displaystyle x,y,z,}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} \,\sigma }$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$

${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx)}$

откуда сразу следует третье из тождеств.