Антиголоморфная функция

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение

Функция ${\displaystyle f}$, определённая на открытом подмножестве ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная ${\displaystyle {\frac {df}{d{\bar {z}}}}}$ по ${\displaystyle {\bar {z}}}$ существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}=0}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$ — первая производная Виртингера. Этому условию можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}}$

где

${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R} }$

Функция, зависящая одновременно от ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}}$, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства

• ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f({\bar {z}})}$ антиголоморфна в ${\displaystyle {\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}}$.
• функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням ${\displaystyle {\bar {z}}}$ в окрестности каждой точки её области определения.
• ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в ${\displaystyle D}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\bar {f}}(z)}$ антиголоморфна в ${\displaystyle D}$.
• если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.