Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Асимптотическая формула Вейля
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.
История
Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.[1]
Формулировка
Суммиров вкратце
Перспектива
Пусть — -мерное риманово многообразие. Обозначим через число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих , для задачи Дирихле на . Тогда
- ,
где обозначает объем единичного шара в -мерном евклидовом пространстве.[2]
Уточнения
Оценка на остаточный член была многократно улучшена.
- В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до .
- В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение для замкнутых многообразий.
- Роберт Сили[англ.] обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.[3]
Предположительно, следующий член в асимптотике при пропорционален площади границы . С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть . В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть .
- В 1975 году Ганс Дейстермаат[англ.] и Виктор Гийемин[англ.] доказали оценку при некоторых дополнительных условиях общего положения.[4]
- Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году.[5] Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.
Remove ads
Примечания
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads