Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Бидуга

Из Википедии, свободной энциклопедии

Бидуга
Remove ads

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены [1] для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой[2], требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

Thumb
Рис. 1. Примеры бидуг

У бидуги зависимость кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью[3].

Remove ads

Примеры бидуг

Суммиров вкратце
Перспектива

На рис. 1 показаны шесть бидуг . Точки и  — начальная и конечная точки кривой, (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды длины , в которой координаты начальной и конечной точек равны .

Ориентированные углы наклонов касательных в точках и , измеренные относительно направления хорды , обозначены и . Так, у бидуги 1 на рис. 1 , а у бидуг 2-6 — .

Remove ads

Описание семейства бидуг

Суммиров вкратце
Перспектива

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи[4]. Параметр семейства обозначен . Обозначение бидуги в виде подразумевает фиксацию констант, то есть .

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар

Thumb
Рис. 2. Семейства бидуг с общими касательными на концах (два примера)
Thumb
Рис. 3. Два семейства с общими (параллельными) касательными на концах:
Thumb
Рис. 4. Семейства бидуг с или

Соотношения для углов и кривизн

Углы и считаются определёнными в диапазоне : , . Построение бидуги возможно при

Введём обозначения

.

Неравенства (1) означают, что .

Кривизна первой дуги и кривизна второй дуги выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

Пусть

  • и  — поворот и длина дуги :    ;
  • и  — поворот и длина дуги :    .

Справедливы равенства

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения двух дуг расположены на окружности

Эта окружность выходит из точки под углом и проходит через точку  При (то есть при ) это прямая (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  .

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть , где

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, реализуется при точка при этом лежит на оси ординат

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

  • Бидуга : при точка сопряжения бидуги стремится к точке , часть исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
  • Бидуга : стремление влечёт , часть исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
  • Бидуга , где

представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда , а неравенства (1) исключают одновременное равенство .

На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами и проходит единственная бидуга . Именно, через точку проходит бидуга с параметром

где .

Структура семейства

В семействе бидуг выделим, в зависимости от значения параметра  следующие подсемейства невырожденных бидуг:

[4], Property 2, подсемейства и названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам , и показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства  — короткие. Их кривизна либо возрастает (если ), либо убывает (если ):

(теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами и (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства имеют противоположный (по отношению к ) характер монотонности кривизны.
Если и , то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга отграничивает друг от друга бидуги подсемейств .

Подсемейство пусто, если     

Подсемейство пусто, если

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию  — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы , и значения на концах могут отличаться от на Определим, наряду с , кумулятивные версии граничных углов в виде , с учётом непрерывности Поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки то есть пересекает луч ; поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

  • в подсемействе :    ;
  • в подсемействе :    ;
  • в подсемействе :    .

Тогда полный поворот бидуги   равен

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, , имеем:


Remove ads

Ссылки

Литература

См. также

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads