Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции ${\displaystyle f}$, заданной выражением ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },}$ где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Специальные случаи

Если ${\displaystyle \alpha }$ является неотрицательным целым числом n, то ${\displaystyle (n+2)}$-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель ${\displaystyle (n-n)}$, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного ${\displaystyle \beta }$, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Чтобы это доказать, подставим ${\displaystyle x=-z}$ в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

${\displaystyle {\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.}$

Сходимость

Условия сходимости

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и x. Точнее:

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Binomial Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• binomial formula (англ.) на сайте PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Binomial series, Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4