Брахистохрона

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, лежащих в одной вертикальной плоскости (${\displaystyle B}$ ниже ${\displaystyle A}$), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$, материальная точка из ${\displaystyle A}$ достигнет ${\displaystyle B}$ за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке ${\displaystyle A}$, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке ${\displaystyle A}$.

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,}$

где

${\displaystyle m}$ — масса тела,

${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения,

${\displaystyle y}$ — ордината,

${\displaystyle v}$ — скорость движения тела.

Получаем:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}},}$

откуда можно найти значение проекции скорости на ось ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}={\frac {\sqrt {2gy}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}.}$

Поскольку время на спуск равняется ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx}$, то задача сводится к минимизации значения интеграла

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}}\,dx.}$

Литература

• Клейбер И. А. Брахистохрона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Страница с Java-апплетом, строящим брахистохрону и анимирующим движение по ней
• Решение Я. Бернулли задачи о брахистохроне