Валюация

Валюация — обобщение понятия меры, обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Определение

Пусть ${\displaystyle K^{n}}$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюация на ${\displaystyle K^{n}}$ есть функция ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что равенство

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$

выполняется для любых ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, что ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$,

Замечания

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого ${\displaystyle S\in K^{n}}$ выполняется

  ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$

Примеры

Средняя поперечная мера

${\displaystyle k}$-ая средняя поредняя поперечная мера ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тела ${\displaystyle S\in K^{n}}$ определяется как средняя ${\displaystyle k}$-мерная площадь проекций ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-мерные плоскости.

В частности,

• ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — объём ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорциональна площади поверхности ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$

Валюация Дирака

Валюация Дирака ${\displaystyle \delta _{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ определяется как

${\displaystyle \delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{если}}~x\notin U\\1&{\text{если}}~x\in U\end{cases}}}$

Свойства

• Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.^[1]

Литература

• Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль