Вариация однолистной функции

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$ в некоторой области ${\displaystyle D}$ плоскости и зависящее от вещественного параметра ${\displaystyle \lambda }$, где ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant \Lambda ,\;\Lambda >0}$, семейство ${\displaystyle F(z,\;\lambda )}$ функций, также однолистных в ${\displaystyle D}$ при каждом фиксированном ${\displaystyle \lambda \in [0,\;\Lambda ]}$. Составим разность ${\displaystyle F(z,\;\lambda )-F(z,\;0)\equiv \Phi (z,\;\lambda )}$, считая при этом, что ${\displaystyle F(z,\;0)=f(z)}$.

Тогда вариацией ${\displaystyle n}$-го порядка, или ${\displaystyle n}$-й вариацией (${\displaystyle n=1,\;2,\;\ldots }$) однолистной функции ${\displaystyle f(z)}$ по семейству ${\displaystyle F(z,\;\lambda )}$ называется коэффициент ${\displaystyle q_{n}(z)}$ при ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ в разложении ${\displaystyle \Phi (z,\;\lambda )}$ по параметру ${\displaystyle \lambda }$ при условии, что остаточный член

${\displaystyle \varphi _{n}(z,\;\lambda )=\Phi (z,\;\lambda )-q_{1}(z)\lambda -q_{2}(z)\lambda ^{2}-\ldots -q_{n}(z)\lambda ^{n}}$

имеет порядок малости более высокий, чем ${\displaystyle \lambda ^{n}}$, равномерно относительно ${\displaystyle z}$ или в области ${\displaystyle D}$, или внутри ${\displaystyle D}$, или в замыкании ${\displaystyle D}$. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром^[1], а позднее М. А. Лаврентьевым^[2].

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях^[3].

Литература

• Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / под ред. В. И. Смирнова. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966. — 628 с.