Вариация отображения

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом^[1].

Двухмерный случай

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

${\displaystyle \alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),}$

где ${\displaystyle f(u,\;v)}$ и ${\displaystyle \varphi (u,\;v)}$ — непрерывные на квадрате ${\displaystyle D_{0}=[0,\;1]\times [0,\;1]}$ функции. Говорят, что отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию, если существует число ${\displaystyle M>0}$ такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов ${\displaystyle D^{i}\subset D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots )}$ со сторонами, параллельными осям координат ${\displaystyle u,\;v}$, справедливо неравенство

${\displaystyle \sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,}$

где ${\displaystyle D_{xy}}$ — образ множества ${\displaystyle D^{i}\subset D_{0}}$ при отображении ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \mathrm {mes} \,D}$ — плоская мера Лебега множества ${\displaystyle D}$.

Численное значение вариации отображения ${\displaystyle V(\alpha )}$ может быть определено различными способами. Например, если отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию, то его вариация ${\displaystyle V(\alpha )}$ может быть определена по формуле:

${\displaystyle V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,}$

где ${\displaystyle N(s,\;t)}$ — число решений системы ${\displaystyle f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t}$, или так называемая индикатриса Банаха отображения ${\displaystyle \alpha }$.

Было показано^[2], что если отображение ${\displaystyle \alpha }$ имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на ${\displaystyle D_{0}}$ существует обобщённый якобиан ${\displaystyle J(P)}$, где ${\displaystyle P\subset D_{0}}$, который интегрируем на ${\displaystyle D_{0}}$. При этом

${\displaystyle J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \,K\to 0}{\frac {\mathrm {mes} \,K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},}$

где ${\displaystyle K\subset D_{0}}$ — квадрат, содержащий точку ${\displaystyle P\subset D_{0}}$, стороны которого параллельны осям ${\displaystyle u,\;v}$;

${\displaystyle K_{xy}}$ — образ множества ${\displaystyle K}$;

${\displaystyle \mathrm {mes} \,K}$ — плоская мера Лебега множества ${\displaystyle K}$.

Литература

• Лаврентьев, М. А., Шабат, Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Гриффитс, Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. — М.: Мир, 1986. — 360 с.
• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4..