Вариация (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация.

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines»^[1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «вариационное исчисление»).

Связанные определения

Рассмотрим некоторое пространство ${\displaystyle X}$, на котором задан функционал ${\displaystyle f(x)}$, и ${\displaystyle V}$ — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента ${\displaystyle x_{0}\in X}$, понимают обычно кривую ${\displaystyle x(t,v)}$, где ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \beta }$ при ${\displaystyle \alpha \leqslant 0}$, ${\displaystyle \beta \geqslant 0}$ и ${\displaystyle v\in V}$, в пространстве ${\displaystyle X}$, проходящую через ${\displaystyle x_{0}}$ в определённой близости от ограничений, причём ${\displaystyle x_{0}}$ соответствует значение ${\displaystyle t=0}$. Таким образом, когда ${\displaystyle v}$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки ${\displaystyle x_{0}}$.

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда ${\displaystyle V=X}$ и ${\displaystyle x(t,v)=x_{0}+tv}$. В этом случае вариацией называется вектор ${\displaystyle v}$. Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации^[2], вариации, связанные со скользящими режимами^[3].

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

См. также

• Вариационное исчисление
• Вариация функционала
• Вариация функции
• Вариация Гато
• Вариация Фреше
• Функциональная производная