Вейвлеты Добеши

Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.

Вейвлет Добеши порядка 2

Построение вейвлетов Добеши

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:

${\displaystyle \varphi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}h_{k}\varphi (2t-k),}$

${\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}g_{k}\varphi (2t-k).}$

Компактность носителя функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ может быть достигнута, если будет выбрано конечное число ${\displaystyle h_{n}\neq 0}$ таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:

${\displaystyle |m_{0}(\omega )|^{2}+|m_{0}(\omega +\pi )|^{2}=1,}$

где ${\displaystyle |m_{0}(\omega )|=\sum _{n}{\frac {h_{n}e^{-in\omega }}{\sqrt {2}}}}$ — тригонометрический полином, при условии моментов

${\displaystyle \left.{\frac {d^{l}\psi {\omega }}{d\omega ^{l}}}\right|_{\omega =0}=0}$

для ${\displaystyle l=0,\ 1,\ \ldots ,\ N-1}$ принимающий вид

${\displaystyle m_{0}(\omega )\propto \left({\frac {1+e^{i\omega }}{2}}\right)^{N}.}$

Если положить, что ${\displaystyle M_{0}(\omega )=|m_{0}(\omega )|^{2}}$ — полином по ${\displaystyle \cos \omega }$, то условие нулевых моментов даёт ${\displaystyle M_{0}(\omega )=\cos ^{2N}{\tfrac {\omega }{2}}\cdot L(\omega )}$, где ${\displaystyle L(\omega )=P\sin ^{2}{\tfrac {\omega }{2}}}$ — полином по ${\displaystyle \cos \omega }$.

Для поиска коэффициентов ${\displaystyle h_{n}}$ необходимо получить ${\displaystyle m_{0}}$, выделив форму полинома ${\displaystyle P}$. Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что

${\displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)).}$

Разложив ${\displaystyle (1-y)^{-N}}$ до порядка ${\displaystyle N-1}$, получим явный вид полинома:

${\displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=\sum _{k=0}^{N-1}{\binom {N+k-1}{k}}y^{k}.}$

Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни ${\displaystyle m_{0}}$ из ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle m_{0}(\omega )=\mathrm {const} \left({\frac {z+1}{2}}\right)^{N}\prod _{j=1}^{N-1}(z-z_{j}).}$

Искомые коэффициенты вейвлета ${\displaystyle h_{j}/{\sqrt {2}}}$ будут являться коэффициентами при ${\displaystyle z^{j}}$ в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию ${\displaystyle \varphi }$ по известным коэффициентам ${\displaystyle h_{n}}$. На каждом шаге алгоритма функция ${\displaystyle \varphi }$ уточняется по оси ${\displaystyle t}$ в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание ${\displaystyle \varphi }$. После этого, зная ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle h_{n}}$, находится функция самого вейвлета ${\displaystyle \psi }$.

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков

D2 (Хаар)	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
1	0.6830127	0.47046721	0.32580343	0.22641898	0.15774243	0.11009943	0.07695562	0.05385035	0.03771716
1	1.1830127	1.14111692	1.01094572	0.85394354	0.69950381	0.56079128	0.44246725	0.34483430	0.26612218
	0.3169873	0.650365	0.8922014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0.95548615	0.85534906	0.74557507
	-0.1830127	-0.19093442	-0.03957503	0.19576696	0.44583132	0.66437248	0.82781653	0.92954571	0.97362811
		-0.12083221	-0.26450717	-0.34265671	-0.31998660	-0.20351382	-0.02238574	0.18836955	0.39763774
		0.0498175	0.0436163	-0.04560113	-0.18351806	-0.31683501	-0.40165863	-0.41475176	-0.35333620
			0.0465036	0.10970265	0.13788809	0.1008467	6.68194092e-4	-0.13695355	-0.27710988
			-0.01498699	-0.00882680	0.03892321	0.11400345	0.18207636	0.21006834	0.18012745
				-0.01779187	-0.04466375	-0.05378245	-0.02456390	0.043452675	0.13160299
				4.71742793e-3	7.83251152e-4	-0.02343994	-0.06235021	-0.09564726	-0.10096657
					6.75606236e-3	0.01774979	0.01977216	3.54892813e-4	-0.04165925
					-1.52353381e-3	6.07514995e-4	0.01236884	0.03162417	0.04696981
						-2.54790472e-3	-6.88771926e-3	-6.67962023e-3	5.10043697e-3
						5.00226853e-4	-5.54004549e-4	-6.05496058e-3	-0.01517900
							9.55229711e-4	2.61296728e-3	1.97332536e-3
							-1.66137261e-4	3.25814671e-4	2.81768659e-3
								-3.56329759e-4	-9.69947840e-4
								5.5645514e-5	-1.64709006e-4
									1.32354367e-4
									-1.875841e-5

См. также

• Вейвлет Койфлет

Ссылки

• Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
• Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet Explorer (недоступная ссылка)
• Всплески Ингрид Добеши