Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — корреляционная функция двух различных сигналов^[1].

Для непрерывных функций ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$ взаимнокорреляционная функция определяется как:

${\displaystyle B(\tau )=(f\star g)(\tau ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t)\ g(t+\tau )\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t-\tau )\ g(t)\,dt,}$

Для дискретных функций:

${\displaystyle (f\star g)_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}}$,

где ${\displaystyle i}$ — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — две независимые случайные величины, имеющие плотности вероятности соответственно ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(y)}$, то плотность вероятности разности этих случайных величин ${\displaystyle Y-X}$ равна взаимной корреляции функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$. При этом плотность вероятности суммы случайных величин ${\displaystyle Y+X}$ равна свертке функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$^[2].

Свойства

Слева направо: свёртка, взаимная корреляция и автокорреляция

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязаны:

${\displaystyle f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)}$

поэтому, если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ чётны, то

${\displaystyle (f\star g)=f*g}$

Также: ${\displaystyle (f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)}$

По аналогии с теоремой свёртки преобразование Фурье от взаимной корреляции равно:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f\star g]={\mathcal {F}}^{*}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g],}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.