Восьмиугольное число

Восьмиугольное число — разновидность многоугольных фигурных чисел, которая может быть представлена восьмиугольником. Общая формула n-го по порядку восьмиугольного числа: 3n² — 2n, где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$.

Восьмиугольные числа до 96

Первые восьмиугольные числа:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936… последовательность A000567 в OEIS

Восьмиугольные числа могут быть созданы расположением треугольных чисел на четырёх сторонах квадрата. Алгебраически, n-е восьмиугольное число это

${\displaystyle x_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n.}$

n-е восьмиугольное число можно также вычислить, сложив квадрат n с удвоенным (n — 1)-м прямоугольным числом.

Восьмиугольные числа последовательно чередуют чётность.

Восьмиугольные числа иногда упоминаются как звёздные числа^[англ.], хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных двенадцатиугольных чисел.^[1]

Тест на восьмиугольность числа

Для восьмиугольного числа ${\displaystyle x_{n}}$ верно, что

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$

Произвольное число x можно проверить на восьмиугольность, поместив его в это уравнение. Если n — целое число, то x является n-м восьмиугольным числом. Если n не является целым числом, то x не является восьмиугольным.

См. также

• Центрированное восьмиугольное число