Выпучивание

Выпучивание — потеря устойчивости конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы.

Задача Эйлера

Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением (S), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила (P) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением ${\displaystyle \sigma =P/S\,.}$ При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизну^[1]

${\displaystyle \kappa =\pm {\frac {M}{EI}}\,,}$

где M — изгибающий момент, I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга. Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб ${\displaystyle v}$ в виде^[2]

${\displaystyle \kappa =\mp {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,,}$

где изгибающий момент равен ${\displaystyle M=\pm Pv\,.}$ Тогда

${\displaystyle EI{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-Pv\,.}$

Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v(0)=v(l)=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силы^[3]

${\displaystyle P_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}\,,}$

которая называется формулой Эйлера.