Вырождение (квантовая механика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Вырождение.

Вырождение (квантовая механика) — явление, при котором некоторая физическая величина (например. энергия, импульс и т. д.), характеризующая квантовую физическую систему, принимает одно и то же значение для разных состояний квантовой физической системы. Кратностью вырождения называется число различных состояний квантовой физической системы, имеющих одно и то же значение физической величины^[1].

Вырожденные состояния в квантовой системе

Математически это значит, что оператор этой физической величины имеет вырожденное собственное значение. Кратность вырождения равна размерности собственного подпространства для данного собственного значения. В случае вырождения недостаточно знать значения вырожденной физической величины, чтобы полностью охарактеризовать состояние системы, необходимо знать также значение других физических величин, которые все вместе образуют полную систему коммутирующих наблюдаемых.

Пример вырождения — случай нахождения частицы массой ${\displaystyle m}$ в квантовой нити квадратного сечения (движение по двум координатам ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ ограничено: ${\displaystyle 0<x<L}$, ${\displaystyle 0<y<L}$, а по третьей координате ${\displaystyle z}$ свободно). В таком случае набор возможных энергий записывается как

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})=E^{*}\cdot (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$,

где ${\displaystyle n_{x}}$, ${\displaystyle n_{y}}$ — натуральные числа, а ${\displaystyle E^{*}=\,}$const. Здесь, например, уровень ${\displaystyle E=5E^{*}}$ оказывается двукратно вырожденным (ему соответствуют и комбинация ${\displaystyle n_{x}=1,\,n_{y}=2}$, и комбинация ${\displaystyle n_{x}=2,\,n_{y}=1}$), а уровень ${\displaystyle E=50E^{*}}$ вырожден трёхкратно (варианты: ${\displaystyle n_{x}=1,\,n_{y}=7}$; ${\displaystyle n_{x}=5,\,n_{y}=5}$; ${\displaystyle n_{x}=7,\,n_{y}=1}$).

Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике. Для системы из N частиц в трех измерениях один уровень энергии может соответствовать нескольким различным волновым функциям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне с равной вероятностью могут быть заполнены. Количество таких состояний дает вырождение того или иного уровня энергии.