Построение с помощью циркуля и линейки

Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

Построение с помощью циркуля и линейки
Медиафайлы на Викискладе

В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
• Циркуль может иметь какой угодно (большой или малый) раствор (может чертить окружность произвольного радиуса) и сохраняет последний раствор, то есть может проводить одинаковые окружности где угодно.

Примеры

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
• Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматривается множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости. В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):

1. произвольную точку;
2. произвольную точку на заданной прямой;
3. произвольную точку на заданной окружности;
4. точку пересечения двух заданных прямых;
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
7. произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
8. прямую, проходящую через две заданные точки;
9. произвольную окружность с центром в заданной точке;
10. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
11. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Этапы при решении задач на построения

Решения неэлементарных^[1] построений оформляются по соответствующей схеме, состоящей из этапов. Ниже приведены четыре этапа с указанием их сути.

1. Анализ:
   • составить план решения задачи,
   • допустить или предположить, что задача решена,
   • выполнить рисунок.
2. Построение:
   • реализация плана решения задачи.
3. Доказательство:
   • доказать, что построенная фигура принадлежит требуемому семейству [используется определение данной геометрической фигуры либо её признаки] и
   • удовлетворяет условию задачи.
4. Исследование:
   • при каких ограничениях на данные искомую фигуру можно построить,
   • сколько решений (конфигураций) имеет задача.

Методы построений циркулем и линейкой

Основные методы

Основными методами решения геометрических задач на построение являются четыре метода:

1. метод геометрических мест точек (ГМТ), или метод пересечений множеств;
2. метод геометрических преобразований;
3. алгебраический метод;
4. метод цепочки многоугольников и, в частности, метод цепочки треугольников.

Более детальная классификация приведена в таблице.

№	Название метода	Что лежит в основе этого метода
1	Метод геометрических мест точек	Геометрические места точек
2	Методы геометрических преобразований: метод движения (по виду движения): а) параллельный перенос; б) симметрия: центральная и осевая; в) вращение (поворот); метод подобия; метод гомотетии; метод инверсии; метод спрямления; метод обратности.	Геометрические соответствия
3	Алгебраический метод: построение отрезков, длины которых заданы формулами; выражения уравнением связи известных и неизвестных величин в задаче, а затем нахождение (построение) корней этого уравнения.	Алгебраические выражения геометрических соответствий
4	Метод цепочки треугольников	Последовательность треугольников

Метод ГМТ (метод пересечений)

Метод симметрии

Метод спрямления

Метод подобия

Метод параллельного переноса

Алгебраический метод

Дополнительные методы

Метод гомотетии

Метод инверсии

Известные задачи

• Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
• Задача Брахмагупты о построении вписанного четырёхугольника по четырём его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Основная статья: Теорема Гаусса — Ванцеля

Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для ${\displaystyle n=2^{k}}$, ${\displaystyle n=3\cdot 2^{k}}$, ${\displaystyle n=5\cdot 2^{k}}$ и ${\displaystyle n=3\cdot 5\cdot 2^{k}}$.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}}$, где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё древними греками:

• трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части;
• удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;
• квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Доказательство неразрешимости этих задач построения было достигнуто с помощью алгебраических методов, основанных на теории Галуа^[2]. В частности, невозможность построения квадратуры круга следует из трансцендентности числа π.

Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис^[3]. Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла, например томагавка.^[4]

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки

Построение квадратного корня из 2.

Построение квадратного корня из 3.

Построение среднего геометрического двух отрезков.
Из подобия треугольников следует: ${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}.}$ Если принять длину отрезка ${\displaystyle AH}$ за единицу, то длина ${\displaystyle BH}$ будет численно равна квадратному корню из длины отрезка ${\displaystyle HC}$. Это один из способов построения квадратного корня заданного числа.

С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:

1. равен сумме длин нескольких отрезков;
2. равен разности длин двух отрезков;
3. численно равен произведению длин двух отрезков;
4. численно равен частному от деления длин двух отрезков;
5. численно равен квадратному корню из длины заданного отрезка (следует из возможности построения среднего геометрического двух отрезков, см. иллюстрацию).^[5]

Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1), иначе задача неразрешима из-за отсутствия масштаба. Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба.^[6]

Возможные и невозможные построения

С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.

Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определённого типа.

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).

Решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению. Простейшее такое уравнение: ${\displaystyle x^{3}-2=0,}$ связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$) невозможно построить циркулем и линейкой.

Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:

${\displaystyle \cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;}$

${\displaystyle +{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},}$

что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида ${\displaystyle x^{F_{n}}-1=0,}$ где ${\displaystyle F_{n}}$ — любое простое число Ферма, с помощью замены переменной к квадратному уравнению.

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Очевидно, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
  • невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
  • также невозможно найти центр данной окружности.

Однако,

• при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Штейнера — Понселе).
• Если на линейке есть две засечки, то построения с её помощью эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).

• Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
• Построения с помощью плоского оригами см. правила Фудзиты
• Построения с помощью шарнирных механизмов — это построения на плоскости и в пространстве с помощью единичных стержней, связанных на концах шарнирами. Этим способом можно построить любое алгебраическое число^[7].

Интересные факты

• Центральный узор на государственном флаге Ирана законодательно описывается как построение с помощью циркуля и линейки^[8].

См. также

• Программные пакеты динамической геометрии позволяют выполнять виртуальные построения с помощью циркуля и линейки на мониторе компьютера.