Гиперболическая система координат

Гиперболическая система координат в математике — система координат, позволяющая задать положение точек в первом квадранте Q декартовой плоскости.

${\displaystyle \{(x,y)\$ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q\ \!} .

Гиперболическая система координат евклидовой плоскости. Все точки, принадлежащие одному и тому же синему лучу, имеют одинаковую координату u. Все точки, принадлежащие одной и той же красной гиперболе, имеют одинаковую координату v

Значения гиперболических координат принадлежат гиперболической плоскости, которая определяется так:

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$.

Данная система удобна для сравнения прямых пропорций из Q в логарифмической шкале и оценки отклонений от прямой пропорции.

Для ${\displaystyle (x,y)}$ в ${\displaystyle Q}$ примем

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

и

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$.

Параметр u представляет собой гиперболический угол к (x, y), в то время как v — среднее геометрическое x и y.

Обратное отображение:

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$.

Функция ${\displaystyle Q\rightarrow HP}$ непрерывна, но не является аналитической

Литература

• David Betounes (2001) Differential Equations: Theory and Applications, page 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7
• Scott Walter (1999). "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity". Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, pp. 91–127. Oxford University Press. ISBN 0-19-850088-2