Гиперметрическое пространство

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.

Определение

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

${\displaystyle \sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0}$

для любых точек ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ и целых чисел ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ таких, что ${\displaystyle \sum b_{i}=1}$.^[1]

Замечания

• При ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=1}$ и ${\displaystyle b_{3}=-1}$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

  ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.}$

Примеры

• ${\displaystyle \ell _{1}}$-пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в ${\displaystyle \ell _{1}}$.
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в ${\displaystyle \ell _{1}}$. Такова например метрика на полном графе ${\displaystyle K_{7}}$ без двух смежных рёбер.

• Пусть ${\displaystyle Y}$ — семейство измеримых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ с мерой ${\displaystyle \mu }$. Если метрика на ${\displaystyle Y}$ задана как

  ${\displaystyle |A-B|_{Y}=\mu (A\triangle B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),}$

то ${\displaystyle Y}$ является гиперметрическим пространством.