Гипероператор

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет обратную функцию — гиперкорень и "определитель" — гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратная операция и "определитель" обобщаются для гипероператора любого порядка.

История

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов ${\displaystyle \varphi (a,b,n)}$ такой, что для ${\displaystyle n=0,1,2}$ она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

${\displaystyle \varphi (a,b,0)=a+b}$,

${\displaystyle \varphi (a,b,1)=a\cdot b}$,

${\displaystyle \varphi (a,b,2)=a^{b}}$;

в стрелочной нотации Кнута^[1]:

${\displaystyle \varphi (a,b,n)=a\uparrow ^{n-1}b}$.

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

Определение

Гипероператор порядка ${\displaystyle n}$ с аргументами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (далее обозначаемый как ${\displaystyle a^{(n)}b}$) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка ${\displaystyle n-1}$ к последовательности из ${\displaystyle b}$ одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ${\displaystyle a}$):

• сложение ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — увеличение числа ${\displaystyle a}$ на количество единиц, равное ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle a{^{(1)}}b=a+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b}=a+b}$
• умножение ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ — сложение числа ${\displaystyle a}$ с самим собой ${\displaystyle b}$ раз: ${\displaystyle a{^{(2)}}b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b}=a\times b}$
• возведение a в степень b — умножение числа ${\displaystyle a}$ на само себя ${\displaystyle b}$ раз: ${\displaystyle a{^{(3)}}b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b}=a^{b}}$
• ${\displaystyle ...}$
• ${\displaystyle a{^{(n)}}b=\underbrace {a^{(n-1)}a^{(n-1)}\dots a^{(n-1)}a} _{b}}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка ${\displaystyle n>2}$ не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle n}$ ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров ${\displaystyle n\geqslant 4}$ на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному; Кнут использует стрелки ${\displaystyle \uparrow }$, Конвей использует стрелки ${\displaystyle \to }$:

${\displaystyle a{^{(n)}}b={\textrm {hyper}}(a,n,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)}$.

Альтернативные операции

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с гипероператором при ${\displaystyle n<4}$:

• ${\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}$,
• ${\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}$,
• ${\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}$.

Для гипероператора ${\displaystyle n\geqslant 4}$ вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для ${\displaystyle n=4,a=3,b=3}$ получим гипероператор тетрацию

• ${\displaystyle 3\uparrow ^{2}3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987}$,

• ${\displaystyle 3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7\,625\,597\,484\,987}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{7\,625\,597\,484\,987}\approx \exp _{10}^{7\,625\,597\,484\,986}(1{,}09902)}$.

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу:

• ${\displaystyle 3\downarrow ^{2}3=3\downarrow \downarrow 3=(3^{3})^{3}=3^{3^{2}}=3^{9}=19\,683}$,

• ${\displaystyle 3\downarrow ^{3}3=3\downarrow \downarrow \downarrow 3=3\downarrow \downarrow 3\downarrow \downarrow 3=19\,683\downarrow \downarrow 3=19\,683^{19\,683^{2}}\approx 2.20\times 10^{1\,663\,618\,948}}$.