Гиперсфера

Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

• при ${\displaystyle n=1}$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
• при ${\displaystyle n=2}$ она представляет собой окружность;
• при ${\displaystyle n=3}$ гиперсфера является сферой.
• при ${\displaystyle n=4}$ гиперсфера является 3-сферой.
• при ${\displaystyle n=5}$ гиперсфера является 4-сферой.

Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей, меридианов и гипермеридианов.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Четырехмерная сфера^[1]

…

• при ${\displaystyle n=8}$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные^[2].

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является ${\displaystyle (n-1)}$-мерным подмногообразием в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в точке ${\displaystyle a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

${\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}}$

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

${\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha }$

а сферические координаты так:

${\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta }$

${\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta }$

${\displaystyle z=\rho \cdot \sin \beta }$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

${\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1}}$

где ${\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}\in [0,2\pi )}$.

Якобиан этого преобразования равен

${\displaystyle J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n-2}\,\alpha _{n-1}}$

В другом варианте,

${\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{n-1}}$

где ${\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}\in [0,2\pi )}$.

Якобиан в такой форме равен

${\displaystyle J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n-2}\,\alpha _{n-1}}$

Площадь и объём

Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности ${\displaystyle n}$ её площадь поверхности ${\displaystyle S_{n}}$ и объём ${\displaystyle V_{n}}$, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам^[3][4]:

${\displaystyle S_{n}=nC_{n}R^{n-1}}$

${\displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n}}$

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)}}}$

а ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

${\displaystyle C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}$

${\displaystyle C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}}$

Здесь ${\displaystyle n!!}$ — двойной факториал.

Так как

${\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n}$

${\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R}$

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}}$

а площади их поверхностей соотносятся как

${\displaystyle S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}}$

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для ${\displaystyle S_{6}}$ и ${\displaystyle V_{5}}$, соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера (${\displaystyle S_{n}}$)	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 4\pi }$	${\displaystyle 2\pi ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle \pi ^{3}}$	${\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}}$	${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}}$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар (${\displaystyle V_{n}}$)	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}}$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для ${\displaystyle n}$-мерного шара размерность его «объёма» также равна ${\displaystyle n}$, а размерность его «площади» — ${\displaystyle n-1}$.

Отношение объёма ${\displaystyle n}$-мерного шара ${\displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n}}$ к объёму описанного вокруг него ${\displaystyle n}$-куба ${\displaystyle 2^{n}R^{n}}$ быстро уменьшается с ростом ${\displaystyle n}$, быстрее, чем ${\displaystyle 2^{-n}}$.

Топология гиперсферы

В этом разделе под сферой ${\displaystyle S_{n}}$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром ${\displaystyle B_{n}}$ — n-мерный гипершар, то есть ${\displaystyle S_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}}$, ${\displaystyle B_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$.

• Сфера ${\displaystyle S_{n}}$ гомеоморфна факторизации шара ${\displaystyle B_{n}}$ по его границе.
• Шар ${\displaystyle B_{n}}$ гомеоморфен факторизации ${\displaystyle B_{n}\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})}$.
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных ${\displaystyle B_{0}=\mathrm {pt} }$ и ${\displaystyle B_{n}}$. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая ${\displaystyle S_{n}}$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные ${\displaystyle B_{n}}$, и сферу ${\displaystyle S_{n-1}}$, являющуюся их общей границей.