Гипотеза Каталана

Гипо́теза Катала́на (теорема Михэйлеску) — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:

${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)}$

имеет единственное решение в натуральных числах: ${\displaystyle x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3}$. Иными словами, кроме ${\displaystyle 2^{3}=8}$ и ${\displaystyle 3^{2}=9}$ не существует других последовательных совершенных степеней натуральных чисел.

Сформулирована Эженом Каталаном в 1844 году^[1][2], доказана в 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu)^[3].

Обобщением гипотезы Каталана является гипотеза Пиллаи, недоказанная по состоянию на 2025 год.