Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году,^[1] утверждающая, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\ }$

где ${\displaystyle p_{n}}$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.}$

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1^[1].

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})}$

предполагая истинной гипотезу Римана^[1].

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .}$

Гипотеза Крамера — Гранвилла

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов ${\displaystyle G(x)}$ между простыми, не превышающими ${\displaystyle x}$. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:^[3]

${\displaystyle G(x)\sim \ln ^{2}x.}$

В вероятностной модели

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,}$ при этом ${\displaystyle c=1.}$

Но константа ${\displaystyle c}$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа ${\displaystyle c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots }$^[4], где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера.

М. Вольф^[5] предложил формулу для максимального расстояния ${\displaystyle G(x)}$ между последовательными простыми числами меньшими ${\displaystyle x}$. Формула Вольфа выражает ${\displaystyle G(x)}$ через функцию распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$:

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),}$

где ${\displaystyle c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\dots }$, а ${\displaystyle C_{2}=1{,}3203236\dots }$ есть удвоенная константа простых-близнецов.

Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми.^[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

${\displaystyle R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.