Главное значение интеграла по Коши

Главное значение интеграла по Коши — это обобщение понятия несобственных интегралов, позволяющее вычислять некоторые расходящиеся интегралы. Идея главного значения интеграла по Коши заключается в том, что при приближении интервалов интегрирования к особой точке с обеих сторон «с одинаковой скоростью», особенности нивелируют друг друга (за счёт различных знаков слева и справа), и в результате можно получить конечный предел, который и называют главным значением интеграла по Коши. Эта концепция имеет важные применения в комплексном анализе (Теорема Сохоцкого — Племеля)^[1].

Так, например, несобственный интеграл второго рода${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$, не существует, однако он существует в смысле главного значения.

Определение главного значения интеграла по Коши

Определение (для особой точки ∞)

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на интервале ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, но несобственный интеграл I рода ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ расходится. Если существует конечный предел

${\displaystyle \lim _{A\rightarrow +\infty }\int \limits _{-A}^{A}f(x)\,dx,}$

то этот предел называют главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ и обозначается символом

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.}$

При этом говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на интервале ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ по Коши (или интегрируема в области ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.}$ Этот интеграл расходится, потому что расходящимся будет, например, интеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }x\,dx,}$ но существует главное значение данного интеграла в смысле Коши:

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.}$

Теорема

Пусть ${\displaystyle f}$ ограничена на ${\displaystyle [-A,A]\ \forall A>0}$. Тогда:

• Если ${\displaystyle f(x)}$ — нечётная на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, то ${\displaystyle f}$ интегрируема на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ в смысле главного значения Коши.
• Если ${\displaystyle f(x)}$ — чётная на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, то сходимость интеграла ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ эквивалентна сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.}$

Определение (для конечной особой точки)

Значения площадей фигур слева и справа равны при всех ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$, поэтому главное значение интеграла по Коши равно нулю

Пусть функция ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ удовлетворяет условиям:

1. ${\displaystyle c\in (a,b)\Rightarrow \exists \delta >0:\forall \varepsilon \in (0,\delta )\forall x\in [a,c-\varepsilon ]\cup [c+\varepsilon ,b]\ (f(x)<M\in \mathbb {R} )}$
2. Несобственный интеграл второго рода ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ расходится.

Если существует конечный предел

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int \limits _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int \limits _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right),}$

то этот предел называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и обозначается символом

${\displaystyle \mathrm {v.p.} \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

При этом говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$ по Коши (интегрируема в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл второго рода ${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}}$ (см. рисунок) Он расходится, поскольку расходится, например, интеграл ${\displaystyle \int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x}}.}$ При этом в понимании главного значения по Коши данный интеграл существует и равен нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |}_{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}}$

Случай нескольких особых точек на промежутке интегрирования

Сумма площадей фигур верхней полуплоскости совпадает с суммой площадей фигур нижней полуплоскости при всех ${\displaystyle \varepsilon \in (0,1)}$, поэтому главное значение интеграла в смысле Коши равно нулю

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx}$ (см. рисунок). Особые точки подынтегральной функции ${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-1}}}$ есть точки -1, 1. Данный интеграл расходится, потому расходится, например, интеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\infty }\int \limits _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned}}}$

Проверим интегрируемость функции ${\displaystyle f}$ в смысле Коши:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int \limits _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int \limits _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int \limits _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=0.\end{aligned}}}$

Следовательно, функция ${\displaystyle f}$ интегрируема в смысле Коши на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$.