Градуированная алгебра

Градуированная алгебра — алгебра ${\textstyle A}$, разложенная в прямую сумму ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r}}$ своих подпространств ${\displaystyle A_{r}}$ таким способом, что выполняется условие ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$.^[1][2]

Определение

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей ${\displaystyle A_{g}}$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

${\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg}}$

Если ненулевой элемент a принадлежит ${\displaystyle A_{g}}$, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировками

• Если A — G-градуированная алгебра, а ${\displaystyle \psi :G\to H}$ — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H-градуировкой по правилу:

${\displaystyle A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}}$

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая ${\displaystyle A_{e}=A}$, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

  ${\displaystyle G=(T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\mid \phi (a)=g(\phi )a}$ для всякого ${\displaystyle \phi \in T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}}$

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G-градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий.
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n-1}.}$
• Полугрупповая алгебра^[англ.] ${\displaystyle K\left[G\right]}$ — является G-градуированной алгеброй.

Градуированный модуль

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

${\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i}}$ и ${\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Морфизм градуированных модулей ${\displaystyle f:N\to M}$ — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$.

Для градуированного модуля M можно определить ℓ-подкрутку ${\displaystyle M(\ell )}$ как градуированный модуль, определённый правилом ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$. (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если ${\displaystyle f:M\to N}$ — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если ${\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d}}$. Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

Литература

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1982. — ISBN 9780444864895.