Двойственность Александера

Двойственность Александера — соотношение между гомологиями подпространства и когомологиями его дополнения. Открыта в 1915 году Джеймсом Александером и обобщена Павлом Сергеевичем Александровым и Львом Семёновичем Понтрягиным.

Формулировка

Обозначим через ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ приведённые гомологии или когомологии с коэффициентами в произвольно заданной абелевой группе.

Пусть ${\displaystyle X}$ — компактное, локально стягиваемое подпространством сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$. Тогда, ${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(\mathbb {S} ^{n}\backslash X)}$ в любой размерности ${\displaystyle q}$.

Замечания

• Условие локальной стягиваемости можно отбросить, если используются гомологии Александрова — Чеха, которая специально разработана для борьбы с локальными патологиями.

Примечания