Дедекиндово сечение

Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональных^[1].

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История

Метод был введён в 1872 году Рихардом Дедекиндом^[2][3].

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12)^[4].

Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик Жозеф Бертран^[5].

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на два подмножества ${\displaystyle A}$ (нижнее, или левое) и ${\displaystyle B}$ (верхнее, или правое) такие, что^[6]:

1. ${\displaystyle a<b}$ для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$,
2. ${\displaystyle B}$ не имеет наименьшего элемента.

Далее дедекиндово сечение обозначается ${\displaystyle (A,B)}$ (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до ${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

Если множество ${\displaystyle A}$ имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества ${\displaystyle A}$ и меньше всех чисел множества ${\displaystyle B}$. Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок, мы получаем поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

Пример

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ соответствует дедекиндово сечение, для которого^[7]:

множество ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\lor x^{2}<2\};}$

множество ${\displaystyle B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\}.}$

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, и все числа, что правее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$; соответственно, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ равен точной нижней грани множества ${\displaystyle B}$.

Упорядоченность дедекиндовых сечений

Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения ${\displaystyle (A,B)}$ и ${\displaystyle (C,D)}$ равны, если ${\displaystyle A=C}$ (тогда и ${\displaystyle B=D}$). Далее определим^[8]:

${\displaystyle (A,B)<(C,D)}$, если ${\displaystyle A\subset C}$ и при этом ${\displaystyle A\neq C.}$

Нетрудно проверить, что все требования линейного порядка выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.

Из данного определения порядка следует:

Теорема о приближении. Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длины^[9].

Арифметика дедекиндовых сечений

Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.

Пусть ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:

${\displaystyle a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.}$

Тогда суммой ${\displaystyle \alpha +\beta }$ называется^[10] вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида ${\displaystyle (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).}$ Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют аддитивную группу.

Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в упорядоченное поле^[11].

Вариации и обобщения

См. также: Пополнение Дедекинда — Макнейла^[англ.]

Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом линейно упорядоченном множестве. См. Полнота (теория порядка)^[англ.]. Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ даёт снова ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Аналог дедекиндовых сечений используется для построения сюрреальных чисел^[12].

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа