Дельта-правило

Де́льта-пра́вило — метод обучения перцептрона по принципу градиентного спуска по поверхности ошибки. Его дальнейшее развитие привело к созданию метода обратного распространения ошибки.

Дельта-правило

Собственно дельта-правилом называют математическую форму записи. Пусть вектор ${\displaystyle \mathbf {X} ={x_{1},x_{2},...x_{r},...x_{m}}}$ — вектор входных сигналов, а вектор ${\displaystyle \mathbf {D} ={d_{1},d_{2},...d_{k},...d_{n}}}$ — вектор сигналов, которые должны быть получены от перцептрона под воздействием входного вектора. Здесь ${\displaystyle n}$ — число нейронов, составляющих перцептрон. Входные сигналы, поступив на входы перцептрона, были взвешены и просуммированы, в результате чего получен вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} ={y_{1},y_{2},...y_{k},...y_{n}}}$ выходных значений перцептрона. Тогда можно определить вектор ошибки ${\displaystyle \mathbf {\mathrm {E} } ={e_{1},e_{2},...e_{k},...e_{n}}}$, размерность которого совпадает с размерностью вектора выходных сигналов. Компоненты вектора ошибок определяются как разность между ожидаемым и реальным значением выходного сигнала перцептронного нейрона:

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {E} =D-Y} }$

При таких обозначениях формулу для корректировки j-го веса i-го нейрона можно записать следующим образом:

${\displaystyle w_{j}(t+1)=w_{j}(t)+e_{i}x_{j}}$

Номер сигнала ${\displaystyle j}$ изменяется в пределах от единицы до размерности входного вектора ${\displaystyle m}$. Номер нейрона ${\displaystyle i}$ изменяется в пределах от единицы до количества нейронов ${\displaystyle n}$. Величина ${\displaystyle t}$ — номер текущей итерации обучения. Таким образом, вес входного сигнала нейрона изменяется в сторону уменьшения ошибки пропорционально величине суммарной ошибки нейрона. Часто вводят коэффициент пропорциональности ${\displaystyle \eta }$, на который умножается величина ошибки. Этот коэффициент называют скоростью или нормой^[1] обучения. Таким образом, итоговая формула для корректировки весов:

${\displaystyle w_{j}(t+1)=w_{j}(t)+\eta e_{i}x_{j}}$

Обобщенное дельта-правило

С целью расширения круга задач, решаемых перцептроном, Уидроу и Хоффом^[2] была предложена сигмоидальная функция активации для нейронов. Это позволило перцептрону оперировать с непрерывными сигналами, но потребовало модификации алгоритма обучения^[3]. Модифицированный алгоритм направлен на минимизацию функции среднеквадратичной ошибки:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{(d_{i}-y_{i})^{2}}}$

Эта функция определяется матрицей весовых коэффициентов ${\displaystyle w_{ij}}$. Здесь ${\displaystyle i}$ — номер нейрона, а ${\displaystyle j}$ — номер входа. Поверхность, описываемая этой функцией имеет форму псевдопараболоида^[4]. Задачей обучения является нахождение глобального минимума этой поверхности. Одним из способов нахождения минимума является метод градиентного спуска. Корректировка весов производится в направлении антиградиента поверхности:

${\displaystyle \Delta w_{ij}=-\eta {\frac {\partial \epsilon }{\partial w_{ij}}}}$

Здесь ${\displaystyle \eta }$ — коэффициент скорости обучения.

Функция ошибки является сложной и зависит в первую очередь от выходных сигналов перцептрона. В соответствии с правилами дифференцирования сложных функций:

${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon }{\partial w_{ij}}}={\frac {\partial \epsilon }{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial w_{ij}}}}$ (*)

Выходной сигнал ${\displaystyle y_{i}}$ каждого нейрона определяется по формуле:

${\displaystyle y_{i}=\operatorname {f} (S_{i}),S_{i}=\sum _{j=1}^{m}{w_{ij}x_{j}}}$

Здесь ${\displaystyle m}$ — число входов перцептрона, ${\displaystyle x_{j}}$ — сигнал на j-ом входе, а ${\displaystyle \operatorname {f} (S)}$ — функция активации. Тогда получим:

${\displaystyle {\frac {\partial y_{i}}{\partial w_{ij}}}=({\frac {\partial \operatorname {f} (S)}{\partial S}})\mid _{S=S_{i}}{\frac {\partial S_{i}}{\partial w_{ij}}}=f^{\prime }(S_{i})x_{j}}$ (**)

Продифференцировав функцию ошибки по значению выходного сигнала получим:

${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon }{\partial y_{i}}}=-(d_{i}-y_{i})}$ (***)

Подставив формулы (**) и (***) в выражение (*) получим выражение для корректировки веса j-го входа у i-го нейрона при любой активационной функции^[5]:

${\displaystyle \Delta w_{ij}=\eta (d_{i}-y_{i})f^{\prime }(S_{i})x_{j}}$

Из этой формулы видно, что в качестве активационной функции при использовании обобщенного дельта-правила функция активации нейронов должна быть непрерывно дифференцируемой на всей оси абсцисс. Преимущество имеют функции активации с простой производной (например — логистическая кривая или гиперболический тангенс).

На основе дельта-правила Уидроу и Хопфом был создан один из первых аппаратных нейрокомпьютеров Адалин (1960).