Обобщённое простое число Бёрлинга

Обобщённое простое число Бёрлинга — число из произвольной последовательности вещественных чисел, больших 1, стремящейся к бесконечности. Обобщённое целое число Бёрлинга — число, которое можно записать как произведение обобщённых простых чисел Бёрлинга.

Введены Арне Бёрлингом, который в 1937 году изучил обобщение теоремы о распределении простых чисел на такие обобщённые простые: если число ${\displaystyle N(x)}$ обобщённых целых чисел Бёрлинга, меньших ${\displaystyle x}$, имеет вид ${\displaystyle N(x)=Ax+O(x\ln ^{-\gamma }x)}$ при ${\displaystyle \gamma >{\frac {3}{2}}}$, то количество обобщённых простых чисел Бёрлинга асимптотически равно ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$, как и для обычных простых чисел, но даже при ${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}}$ этот вывод уже не сохраняется. В дальнейшем область исследований, связанная с такого рода обобщениями, получила наименование абстрактной аналитической теории чисел^[англ.].

Дзета-функция Бёрлинга — аналог дзета-функции Римана для обобщённых простых чисел Бёрлинга, которая вводится для произвольной заданной последовательности обобщённых простых чисел Бёрлинга ${\displaystyle \{b_{i}\}}$ как:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{i}{\frac {1}{1-b_{i}^{-s}}}}$;

предполагается, что изучение её свойств в таком общем виде может дать новые представления о поведении дзета-функции.

Литература

• Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G. (1969), Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, in LeVeque, William Judson (ed.), Studies in Number Theory, M.A.A. studies in mathematics, vol. 6, Math. Assoc. Amer. (distributed by Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.), pp. 152–210, ISBN 978-0-13-541359-3, MR 0242778
• Beurling, Arne (1937), Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés. I, Acta Mathematica (фр.), vol. 68, Springer Netherlands, pp. 255–291, doi:10.1007/BF02546666, ISSN 0001-5962, Zbl 0017.29604