Дзета-функция Госса

Дзета-функция Госса — аналог дзета-функции Римана для функциональных полей; введена Дэвидом Госсом^[англ.] в 1980 году.

Аналогично тому, как дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ определяется рядом Дирихле ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ для ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, дзета-функция Госса строится с использованием многочленов из кольца ${\displaystyle A=\mathbb {F} _{q}[T]}$ над конечными полями ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ (${\displaystyle q}$ — степень простого числа) — как произведение по всем простым (неприводимым) многочленам ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-N(p)^{-s}}}}$,

где ${\displaystyle N(p)=q^{\deg p}}$ — норма многочлена ${\displaystyle p}$. Этот ряд сходится для определённых значений параметра ${\displaystyle s}$.

Наиболее важный результат, связанный с дзета-функцией Госса — доказательство аналога гипотезы Римана: для функциональных полей доказано, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$ (Джеффри Шитс, 1998).

Михаил Капранов в 1995 году исследовал высшие измерения аналогов дзета-функции Госса, обобщив её на многомерные случаи, это открыло новые направления в изучении L-функций и их роли в арифметической геометрии.

Вопросы о том, насколько дзета-функция Госса похожа на ${\displaystyle p}$-адические дзета-функции и можно ли её использовать для доказательства результатов о классических L-рядах (например, в гипотезе Бёрча и Свиннертона-Дайера для ранга 1), остаются областями активных исследований. Изучение помогает глубже понять структуру полей функций и их связь с классическими числовыми полями.

Литература

• Goss, David. (1996). Basic Structures of Function Field Arithmetic. Springer-Verlag.
• Kapranov, Mikhail. (1995). A higher-dimensional generalization of the Goss zeta function //Journal of Number Theory
• Sheats, Jeffrey T. (1998). The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[T]}$ // Journal of Number Theory
• Goss, David (1996), Basic structures of function field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 35, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-61087-8, MR 1423131
• Kapranov, Mikhail (1995), A higher-dimensional generalization of the Goss zeta function, Journal of Number Theory, vol. 50, no. 2, pp. 363–375, doi:10.1006/jnth.1995.1030
• Sheats, Jeffrey T. (1998), The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[T]}$, Journal of Number Theory, vol. 71, no. 1, pp. 121–157, arXiv:math/9801158, doi:10.1006/jnth.1998.2232, ISSN 0022-314X, MR 1630979