Дзета-функция Лефшеца

Дзета-функция Лефшеца — функция, определяемая для заданного непрерывного отображения топологических пространств ${\displaystyle f\colon X\to X}$ как формальный ряд:

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {t^{n}}{n}}\right)}$,

где ${\displaystyle L(f^{n})}$ — число Лефшеца ${\displaystyle n}$-й итерации ${\displaystyle f}$.

Играет важную роль в топологической теории периодических точек, поскольку является единственным инвариантом, содержащим информацию обо всех итерациях ${\displaystyle f}$; в связи с этим широко используется в теории динамических систем. Может быть интерпретирована как алгебраическая форма дзета-функции Артина — Мазура, которая, в свою очередь, даёт геометрическую информацию о неподвижных и периодических точках ${\displaystyle f}$.

Отображение тождественности на ${\displaystyle X}$ имеет дзета-функцию Лефшеца вида:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}}}$,

где ${\displaystyle \chi (X)}$ есть эйлерова характеристика ${\displaystyle X}$, то есть число Лефшеца тождественного отображения.

Для ${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}}$ — отражения по оси ${\displaystyle x}$ единичная окружность единичной окружности ${\displaystyle S^{1}}$, то есть ${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$ число Лефшеца равно 2, в то время как ${\displaystyle f^{2}}$ является тождественным отображением с числом Лефшеца 0; далее все нечётные итерации будут иметь число Лефшеца 2, в то время как все чётные итерации — 0; дзета-функция Лефшеца такова:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle f}$ — непрерывное отображение на компактном многообразии ${\displaystyle X}$ размерности ${\displaystyle n}$ (или, более общо, на любом компактном многограннике), дзета-функция задаётся формулой:

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}}$,

таким образом, является рациональной функцией; многочлены, встречающиеся в числителе и знаменателе, по сути, являются характеристическими многочленами отображения, индуцированного функцией ${\displaystyle f}$ на различных гомологических пространствах.

См. также

• Дзета-функция Рюэля

Литература

• Fel’shtyn Alexander. Dynamical zeta functions, Nielsen theory and Reidemeister torsion (англ.) // Memoirs of the American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 147, iss. 699. — arXiv:chao-dyn/9603017.