Дираковская потенциальная гребёнка

См. также: Гребень Дирака

Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

${\displaystyle U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),}$

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).}$

Вводя обозначение ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$, получим:

${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right)\Psi (x)=0.}$

В интервале ${\displaystyle 0<x<a}$ уравнение принимает вид:

${\displaystyle \Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0}$

и его общее решение равно

${\displaystyle \Psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}.}$

Так как потенциал периодический, то в интервале ${\displaystyle a<x<2a}$ решение имеет вид

${\displaystyle \Psi (x)=e^{iKa}\left(Ae^{ik(x-a)}+Be^{-ik(x-a)}\right).}$

Условие непрерывности волновой функции

${\displaystyle \Psi (a+0)=\Psi (a-0).}$

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки ${\displaystyle x=a}$, получим условие сшивки для производных:

${\displaystyle \Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).}$

Учитывая эти условия, имеем:

${\displaystyle e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},}$

${\displaystyle ike^{iKa}(A-B)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).}$

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

${\displaystyle \cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka.}$

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

${\displaystyle |\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka|\leqslant 1.}$

Соответствующий спектр энергий:

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.}$

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

См. также

Частица в периодическом потенциале