Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

В математике, дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова является одним из основных обобщений производной в дробном исчислении, которое позволяет брать производные нецелое число раз. Он был введён Антоном Карлом Грюнвальдом^[нем.] в 1867 году и А. В. Летниковым в 1868 году.

Построение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова

Формулу для производной

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

можно применить рекурсивно для получения производных высших порядков. Например, для производной второго порядка получаем:

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=}$

${\displaystyle =\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.}$

Предполагая, что все приращения ${\displaystyle h}$ стремятся к нулю одинаково, данное выражение можно упростить:

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}},}$

которое может быть строго обосновано посредством формулы конечных приращений. В общем случае, имеем (смотри биномиальные коэффициенты):

${\displaystyle d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n}}}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h).}$

Формально, снимая ограничение, что ${\displaystyle n}$ — положительное число, естественно определить:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

Это и есть определение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова.

Другая запись

Определение также можно переписать проще, если ввести обозначение:

${\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

Тогда определение примет вид:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}$

Ссылки

• Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus — Publisher: Academic Press, 1974. — 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0.