Длина окружности

Длина окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга или диска, длина окружности является частным случаем периметра^[1][2].

Длина окружности C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = ${\displaystyle \pi }$ × D = 2 × ${\displaystyle \pi }$ × R.

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника^[3].

Если диаметр окружности равен 1, её длина равна ${\displaystyle \pi }$.

Если радиус окружности равен 1, её длина равна ${\displaystyle 2\pi }$.

Длина окружности и число π

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи (${\displaystyle \pi }$). Первые цифры числа в десятичной записи^[4]:

${\displaystyle \pi =3{,}141592653589793\dots }$

${\displaystyle \pi }$ определяется как отношение длины окружности ${\displaystyle C}$ к её диаметру ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к удвоенному радиусу. Формула длины окружности тогда выше принимает вид:

${\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!}$

Использование константы ${\displaystyle \pi }$ является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга^[англ.]», написанной около 250 года до н. э., Архимед показал, что отношение (${\displaystyle C/d}$ (он не использовал обозначение ${\displaystyle \pi }$) больше 310/71, но меньше 31/7, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами^[5]. Этот метод аппроксимации числа ${\displaystyle \pi }$ использовался столетиями, так как имел бо́льшую точность, чем формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристофом Гринбергером^[англ.], использовавшим многоугольники с 10⁴⁰ сторонами.

См. также

• Длина дуги
• Изопериметрическое неравенство