Добротность

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом ${\displaystyle Q}$ от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Теория

Общая формула для добротности любой колебательной системы^[1]:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}W}{P_{d}}}={\frac {2\pi f_{0}W}{P_{d}}}}$,

где

• ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная круговая частота колебаний
• ${\displaystyle f_{0}}$ — резонансная частота колебаний
• ${\displaystyle W}$ — энергия, запасённая в колебательной системе
• ${\displaystyle P_{d}}$ — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного колебательного контура, в котором индуктивность, емкость и сопротивления ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$, учитывающие потери энергии на этих реактивных элементах, включены последовательно, а также для параллельного контура, в котором индуктивность и ёмкость включены параллельно, а сопротивления потерь ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ включены последовательно с индуктивностью и емкостью^[2]:

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}},}$

где ${\displaystyle R=R_{1}+R_{2}}$, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно, а ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота резонанса. Выражение ${\displaystyle {\sqrt {L/C}}}$ часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом, добротность в колебательном контуре равна отношению волнового сопротивления к активному ${\displaystyle R}$.

Формулировка частотного отклика или ширины полосы пропускания колебательной системы

ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью

Также добротность можно определить по формуле, через ширину полосы пропускания контура ${\displaystyle \Delta f}$, определяемую по уровню амплитуды колебаний ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ от максимального значения на резонансе и резонансную частоту ${\displaystyle f_{0}:}$

${\displaystyle Q={\frac {f_{0}}{\Delta f}}={\frac {\pi }{\delta }}=\pi N_{e},}$

где δ — логарифмический декремент колебаний, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, ${\displaystyle N_{e}}$ — число колебаний за время релаксации.

Для электрически малых антенн добротность можно определить соотношением^[1]:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}[W_{e}+W_{m}]}{P}}}$,

где

• ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная круговая частота электромагнитных колебаний
• ${\displaystyle W_{e}}$ — энергия электрического поля, запасённая в антенне
• ${\displaystyle W_{m}}$ — энергия магнитного поля, запасённая в антенне
• ${\displaystyle P}$ — рассеиваемая антенной мощность.

Метрологические аспекты

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков и сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

См. также

• Измеритель добротности