Дополнение Шура

Дополнение Шура — некоторая квадратная матрица, получающаяся при разбиении квадратной матрицы на четыре части.

Определение

Представим квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ в блочном виде:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$,

где ${\displaystyle A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}}$ — матрицы размеров ${\displaystyle n\times n,n\times m,m\times n,m\times m}$, соответственно.

Матрица ${\displaystyle \left(A/A_{11}\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}}$ называется дополнением Шура матрицы ${\displaystyle A_{11}}$ в матрице ${\displaystyle A}$^[1].

Свойства

• с помощью дополнения Шура может быть вычислен определитель матрицы ${\displaystyle |A|}$. Если ${\displaystyle |A_{11}|\neq 0}$, то ${\displaystyle |A|=|A_{11}|\cdot |A/A_{11}|}$;
• дополнение Шура используется при сведении алгоритмической задачи обращения матриц к задаче умножения матриц, для решения которой существует много специализированных быстрых алгоритмов.^[2]

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с.

• А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979. — 536 с. Архивная копия от 13 января 2019 на Wayback Machine