Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, и подмножество ${\displaystyle A\subset X}$. Точка ${\displaystyle x\in A}$ называется изолированной точкой множества ${\displaystyle A}$, если существует окрестность ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такая, что ${\displaystyle U\cap A=\{x\}.}$

Связанные определения

• Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным

Свойства

• Произвольная функция ${\displaystyle f:A\subset X\to Y}$, где ${\displaystyle Y}$ — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке ${\displaystyle x}$.

Примеры

Пусть ${\displaystyle A=\mathbb {R} }$ — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

• Если ${\displaystyle A=\{0\}\cup [1,2]}$, то точка ${\displaystyle x=0}$ является изолированной, а все остальные нет.
• Если ${\displaystyle A=\{0\}\cup \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\equiv \left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots \right\},}$ то ${\displaystyle x=0}$ не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
• Множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ дискретно.
• Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
• Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. также

• Предельная точка
• Точка прикосновения
• Внутренняя точка