Изопериметрическое отношение

Изопериметрическое отношение для простой замкнутой кривой на евклидовой плоскости равно отношению L²/A, где L — длина кривой, а A — площадь охватываемой ею части поверхности. Изопериметрическое отношение безразмерная величина и не изменяется при преобразованиях подобия.

Как следует из решения изопериметрической задачи, значение изопериметрического отношения минимально для окружности и равно 4π. Для любой другой кривой изопериметрическое отношение имеет большее значение.^[1] Следовательно, изопериметрическое отношение можно использовать как показатель того, насколько кривая «отличается» от окружности.

Укорачивающий поток уменьшает изопериметрическое отношение любой гладкой выпуклой кривой таким образом, что если кривая в пределе становится точкой, то изопериметрическое отношение стремится к 4π.^[2]

Для геометрических тел произвольной размерности d можно определить изопериметрическое отношение как B^d/V^{d − 1}, где B равно площади поверхности тела (то есть мере его границы), V равно объёму тела (то есть мере внутренней области).^[3] Другими связанными по смыслу величинами являются константа Чигера для риманова многообразия и константа Чигера для графов.^[4]