Икосаэдрическая пирамида

Икосаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида^[англ.], имеющая основанием икосаэдр.

Икосаэдрическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной икосаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида[англ.]
Символ Шлефли	( ) ∨ {3,5}
Ячеек	21
Граней	50
Рёбер	42
Вершин	13
Двойственный политоп	Додекаэдрическая пирамида

Ортогональная двумерная проекция равногранной икосаэдрической пирамиды, вращающейся вокруг плоскости, проходящей через два параллельных ребра её основания

Описание

Ограничена 21 трёхмерной ячейкой — 20 тетраэдрами и 1 икосаэдром. Икосаэдрическая ячейка окружена всеми двадцатью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена икосаэдрической и тремя тетраэдрическими.

Её 50 двумерных граней — треугольники. 20 граней разделяют икосаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 30 — две тетраэдрических.

Имеет 42 ребра. На 30 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (икосаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 12 — по пять граней и по пять ячеек (только тетраэдрические).

Имеет 13 вершин. В 12 вершинах сходятся по 6 рёбер, по 10 граней и по 6 ячеек (икосаэдрическая и пять тетраэдрических); в 1 вершине — 12 рёбер, 30 граней и все 20 тетраэдрических ячеек.

Равногранная икосаэдрическая пирамида

Если все рёбра икосаэдрической пирамиды имеют равную длину ${\displaystyle a}$, её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 0{,}1685452a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 4{,}5387176a^{3}.}$

Высота пирамиды при этом будет равна

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\approx 0{,}3090170a,}$

радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

${\displaystyle r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a\approx 0{,}1485399a.}$

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды.

Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины шестисотячейника и всех 12 соседних вершин, соединённых с ней ребром.

Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ },}$ как и в шестисотячейнике. Угол между икосаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен ${\displaystyle \arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 22{,}24^{\circ }.}$

В координатах

Равногранную икосаэдрическую пирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi$ ;\;0\right),}
• ${\displaystyle \left(\pm \Phi$ ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),}
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm \Phi$ ;\;0;\;0\right),}
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Ссылки

• Richard Klitzing. Icosahedral pyramid